Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14989 / 10958
↖ ↑ ↗
← N 75.912179°
W 97.662964°		 ← 148.69 m → N 75.912179°
W 97.657471°		 →
↑
148.70 m
↓
↑
148.70 m
↓
N 75.910841°
W 97.662964°		 ← 148.70 m →
22 111 m²		 N 75.910841°
W 97.657471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228721618652344 y=0.167213439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228721618652344 × 216)
    floor (0.228721618652344 × 65536)
    floor (14989.5)     		tx = 14989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167213439941406 × 216)
    floor (0.167213439941406 × 65536)
    floor (10958.5)     		ty = 10958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14989 / 10958 ti = "16/14989/10958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14989/10958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14989 ÷ 216
    14989 ÷ 65536     		x = 0.228713989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10958 ÷ 216
    10958 ÷ 65536     		y = 0.167205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228713989257812 × 2 - 1) × π
    -0.542572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.70454028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167205810546875 × 2 - 1) × π
    0.66558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09100756142685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70454028} λ = -1.70454028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09100756142685))-π/2
    2×atan(8.0930653181648)-π/2
    2×1.44785689133048-π/2
    2.89571378266095-1.57079632675     		φ = 1.32491746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70454028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.662964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32491746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.912179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14989 KachelY 10958 -1.70454028 1.32491746 -97.662964 75.912179
    Oben rechts KachelX + 1 14990 KachelY 10958 -1.70444440 1.32491746 -97.657471 75.912179
    Unten links KachelX 14989 KachelY + 1 10959 -1.70454028 1.32489412 -97.662964 75.910841
    Unten rechts KachelX + 1 14990 KachelY + 1 10959 -1.70444440 1.32489412 -97.657471 75.910841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32491746-1.32489412) × R
    2.33400000000383e-05 × 6371000     		dl = 148.699140000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32491746-1.32489412) × R
    2.33400000000383e-05 × 6371000     		dr = 148.699140000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70454028--1.70444440) × cos(1.32491746) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.243408852484142 × 6371000     		do = 148.686657784942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70454028--1.70444440) × cos(1.32489412) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.243431490438764 × 6371000     		du = 148.700486213027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32491746)-sin(1.32489412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243408852484142-0.243431490438764)×R²
    abs(-1.70444440--1.70454028)×2.26379546220123e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.26379546220123e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.26379546220123e-05×40589641000000     		ar = 22110.6062810595m²