Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14989 / 10361
↖ ↑ ↗
← N 55.021724°
W 15.325928°		 ← 700.32 m → N 55.021724°
W 15.314941°		 →
↑
700.36 m
↓
↑
700.36 m
↓
N 55.015426°
W 15.325928°		 ← 700.43 m →
490 520 m²		 N 55.015426°
W 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457443237304688 y=0.316207885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457443237304688 × 215)
    floor (0.457443237304688 × 32768)
    floor (14989.5)     		tx = 14989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316207885742188 × 215)
    floor (0.316207885742188 × 32768)
    floor (10361.5)     		ty = 10361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14989 / 10361 ti = "15/14989/10361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14989/10361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14989 ÷ 215
    14989 ÷ 32768     		x = 0.457427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10361 ÷ 215
    10361 ÷ 32768     		y = 0.316192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.08514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26748790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316192626953125 × 2 - 1) × π
    0.36761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15489578564639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26748790} λ = -0.26748790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15489578564639))-π/2
    2×atan(3.17369265596416)-π/2
    2×1.26555328990099-π/2
    2.53110657980198-1.57079632675     		φ = 0.96031025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26748790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.325928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96031025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.021724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14989 KachelY 10361 -0.26748790 0.96031025 -15.325928 55.021724
    Oben rechts KachelX + 1 14990 KachelY 10361 -0.26729615 0.96031025 -15.314941 55.021724
    Unten links KachelX 14989 KachelY + 1 10362 -0.26748790 0.96020032 -15.325928 55.015426
    Unten rechts KachelX + 1 14990 KachelY + 1 10362 -0.26729615 0.96020032 -15.314941 55.015426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96031025-0.96020032) × R
    0.000109930000000036 × 6371000     		dl = 700.364030000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96031025-0.96020032) × R
    0.000109930000000036 × 6371000     		dr = 700.364030000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26748790--0.26729615) × cos(0.96031025) × R
    0.000191749999999991 × 0.573265804290368 × 6371000     		do = 700.324007203897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26748790--0.26729615) × cos(0.96020032) × R
    0.000191749999999991 × 0.573355874111458 × 6371000     		du = 700.434040032581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96031025)-sin(0.96020032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573265804290368-0.573355874111458)×R²
    abs(-0.26729615--0.26748790)×9.00698210901663e-05×R²
    0.000191749999999991×9.00698210901663e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.00698210901663e-05×40589641000000     		ar = 490520.276003046m²