Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14989 / 10349
↖ ↑ ↗
← N 55.097230°
W 15.325928°		 ← 699 m → N 55.097230°
W 15.314941°		 →
↑
699.09 m
↓
↑
699.09 m
↓
N 55.090943°
W 15.325928°		 ← 699.11 m →
488 705 m²		 N 55.090943°
W 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457443237304688 y=0.315841674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457443237304688 × 215)
    floor (0.457443237304688 × 32768)
    floor (14989.5)     		tx = 14989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315841674804688 × 215)
    floor (0.315841674804688 × 32768)
    floor (10349.5)     		ty = 10349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14989 / 10349 ti = "15/14989/10349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14989/10349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14989 ÷ 215
    14989 ÷ 32768     		x = 0.457427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10349 ÷ 215
    10349 ÷ 32768     		y = 0.315826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.08514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26748790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315826416015625 × 2 - 1) × π
    0.36834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15719675682816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26748790} λ = -0.26748790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15719675682816))-π/2
    2×atan(3.1810036392606)-π/2
    2×1.26621220242069-π/2
    2.53242440484138-1.57079632675     		φ = 0.96162808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26748790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.325928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96162808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.097230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14989 KachelY 10349 -0.26748790 0.96162808 -15.325928 55.097230
    Oben rechts KachelX + 1 14990 KachelY 10349 -0.26729615 0.96162808 -15.314941 55.097230
    Unten links KachelX 14989 KachelY + 1 10350 -0.26748790 0.96151835 -15.325928 55.090943
    Unten rechts KachelX + 1 14990 KachelY + 1 10350 -0.26729615 0.96151835 -15.314941 55.090943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96162808-0.96151835) × R
    0.00010973000000003 × 6371000     		dl = 699.089830000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96162808-0.96151835) × R
    0.00010973000000003 × 6371000     		dr = 699.089830000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26748790--0.26729615) × cos(0.96162808) × R
    0.000191749999999991 × 0.572185517154509 × 6371000     		do = 699.004286037462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26748790--0.26729615) × cos(0.96151835) × R
    0.000191749999999991 × 0.572275505940087 × 6371000     		du = 699.114219869984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96162808)-sin(0.96151835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572185517154509-0.572275505940087)×R²
    abs(-0.26729615--0.26748790)×8.9988785578643e-05×R²
    0.000191749999999991×8.9988785578643e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.9988785578643e-05×40589641000000     		ar = 488705.214797851m²