Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14988 / 14813
↖ ↑ ↗
← S 80.973352°
E149.326172°		 ← 383.33 m → S 80.973352°
E149.348144°		 →
↑
383.28 m
↓
↑
383.28 m
↓
S 80.976799°
E149.326172°		 ← 383.18 m →
146 893 m²		 S 80.976799°
E149.348144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914825439453125 y=0.904144287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914825439453125 × 214)
    floor (0.914825439453125 × 16384)
    floor (14988.5)     		tx = 14988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904144287109375 × 214)
    floor (0.904144287109375 × 16384)
    floor (14813.5)     		ty = 14813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14988 / 14813 ti = "14/14988/14813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14988/14813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14988 ÷ 214
    14988 ÷ 16384     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14813 ÷ 214
    14813 ÷ 16384     		y = 0.90411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.8082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53912169907513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53912169907513))-π/2
    2×atan(0.0789356986507235)-π/2
    2×0.0787723634917018-π/2
    0.157544726983404-1.57079632675     		φ = -1.41325160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41325160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.973352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14988 KachelY 14813 2.60623336 -1.41325160 149.326172 -80.973352
    Oben rechts KachelX + 1 14989 KachelY 14813 2.60661685 -1.41325160 149.348144 -80.973352
    Unten links KachelX 14988 KachelY + 1 14814 2.60623336 -1.41331176 149.326172 -80.976799
    Unten rechts KachelX + 1 14989 KachelY + 1 14814 2.60661685 -1.41331176 149.348144 -80.976799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41325160--1.41331176) × R
    6.01600000000868e-05 × 6371000     		dl = 383.279360000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41325160--1.41331176) × R
    6.01600000000868e-05 × 6371000     		dr = 383.279360000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60661685) × cos(-1.41325160) × R
    0.000383489999999931 × 0.156893816139369 × 6371000     		do = 383.325292051178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60661685) × cos(-1.41331176) × R
    0.000383489999999931 × 0.15683440090839 × 6371000     		du = 383.180127880099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41325160)-sin(-1.41331176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156893816139369-0.15683440090839)×R²
    abs(2.60661685-2.60623336)×5.94152309790763e-05×R²
    0.000383489999999931×5.94152309790763e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.94152309790763e-05×40589641000000     		ar = 146892.8534379m²