Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14988 / 14694
↖ ↑ ↗
← S 80.553733°
E149.326172°		 ← 400.99 m → S 80.553733°
E149.348144°		 →
↑
400.93 m
↓
↑
400.93 m
↓
S 80.557338°
E149.326172°		 ← 400.84 m →
160 736 m²		 S 80.557338°
E149.348144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914825439453125 y=0.896881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914825439453125 × 214)
    floor (0.914825439453125 × 16384)
    floor (14988.5)     		tx = 14988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896881103515625 × 214)
    floor (0.896881103515625 × 16384)
    floor (14694.5)     		ty = 14694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14988 / 14694 ti = "14/14988/14694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14988/14694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14988 ÷ 214
    14988 ÷ 16384     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14694 ÷ 214
    14694 ÷ 16384     		y = 0.8968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8968505859375 × 2 - 1) × π
    -0.793701171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49348577063684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49348577063684))-π/2
    2×atan(0.0826214645662218)-π/2
    2×0.0824342310271564-π/2
    0.164868462054313-1.57079632675     		φ = -1.40592786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40592786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.553733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14988 KachelY 14694 2.60623336 -1.40592786 149.326172 -80.553733
    Oben rechts KachelX + 1 14989 KachelY 14694 2.60661685 -1.40592786 149.348144 -80.553733
    Unten links KachelX 14988 KachelY + 1 14695 2.60623336 -1.40599079 149.326172 -80.557338
    Unten rechts KachelX + 1 14989 KachelY + 1 14695 2.60661685 -1.40599079 149.348144 -80.557338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40592786--1.40599079) × R
    6.29299999999056e-05 × 6371000     		dl = 400.927029999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40592786--1.40599079) × R
    6.29299999999056e-05 × 6371000     		dr = 400.927029999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60661685) × cos(-1.40592786) × R
    0.000383489999999931 × 0.16412258280214 × 6371000     		do = 400.986721675116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60661685) × cos(-1.40599079) × R
    0.000383489999999931 × 0.164060505811059 × 6371000     		du = 400.835054252387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40592786)-sin(-1.40599079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16412258280214-0.164060505811059)×R²
    abs(2.60661685-2.60623336)×6.20769910814889e-05×R²
    0.000383489999999931×6.20769910814889e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.20769910814889e-05×40589641000000     		ar = 160736.011658619m²