Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14988 / 10957
↖ ↑ ↗
← N 75.913515°
W 97.668457°		 ← 148.66 m → N 75.913515°
W 97.662964°		 →
↑
148.64 m
↓
↑
148.64 m
↓
N 75.912179°
W 97.668457°		 ← 148.67 m →
22 097 m²		 N 75.912179°
W 97.662964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228706359863281 y=0.167198181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228706359863281 × 216)
    floor (0.228706359863281 × 65536)
    floor (14988.5)     		tx = 14988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167198181152344 × 216)
    floor (0.167198181152344 × 65536)
    floor (10957.5)     		ty = 10957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14988 / 10957 ti = "16/14988/10957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14988/10957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14988 ÷ 216
    14988 ÷ 65536     		x = 0.22869873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10957 ÷ 216
    10957 ÷ 65536     		y = 0.167190551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.5426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70463615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167190551757812 × 2 - 1) × π
    0.665618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09110343522609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70463615} λ = -1.70463615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09110343522609))-π/2
    2×atan(8.0938412682804)-π/2
    2×1.44786855905389-π/2
    2.89573711810779-1.57079632675     		φ = 1.32494079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70463615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32494079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.913515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14988 KachelY 10957 -1.70463615 1.32494079 -97.668457 75.913515
    Oben rechts KachelX + 1 14989 KachelY 10957 -1.70454028 1.32494079 -97.662964 75.913515
    Unten links KachelX 14988 KachelY + 1 10958 -1.70463615 1.32491746 -97.668457 75.912179
    Unten rechts KachelX + 1 14989 KachelY + 1 10958 -1.70454028 1.32491746 -97.662964 75.912179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32494079-1.32491746) × R
    2.33300000000991e-05 × 6371000     		dl = 148.635430000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32494079-1.32491746) × R
    2.33300000000991e-05 × 6371000     		dr = 148.635430000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70463615--1.70454028) × cos(1.32494079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243386224096216 × 6371000     		do = 148.657329064445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70463615--1.70454028) × cos(1.32491746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243408852484142 × 6371000     		du = 148.671150207045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32494079)-sin(1.32491746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243386224096216-0.243408852484142)×R²
    abs(-1.70454028--1.70463615)×2.26283879258549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26283879258549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26283879258549e-05×40589641000000     		ar = 22096.7731848524m²