Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14988 / 10358
↖ ↑ ↗
← N 55.040614°
W 15.336914°		 ← 699.99 m → N 55.040614°
W 15.325928°		 →
↑
700.05 m
↓
↑
700.05 m
↓
N 55.034319°
W 15.336914°		 ← 700.10 m →
490 066 m²		 N 55.034319°
W 15.325928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457412719726562 y=0.316116333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457412719726562 × 215)
    floor (0.457412719726562 × 32768)
    floor (14988.5)     		tx = 14988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316116333007812 × 215)
    floor (0.316116333007812 × 32768)
    floor (10358.5)     		ty = 10358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14988 / 10358 ti = "15/14988/10358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14988/10358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14988 ÷ 215
    14988 ÷ 32768     		x = 0.4573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10358 ÷ 215
    10358 ÷ 32768     		y = 0.31610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26767965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31610107421875 × 2 - 1) × π
    0.3677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15547102844183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26767965} λ = -0.26767965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15547102844183))-π/2
    2×atan(3.17551882499438)-π/2
    2×1.2657181345575-π/2
    2.53143626911499-1.57079632675     		φ = 0.96063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26767965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.336914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.040614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14988 KachelY 10358 -0.26767965 0.96063994 -15.336914 55.040614
    Oben rechts KachelX + 1 14989 KachelY 10358 -0.26748790 0.96063994 -15.325928 55.040614
    Unten links KachelX 14988 KachelY + 1 10359 -0.26767965 0.96053006 -15.336914 55.034319
    Unten rechts KachelX + 1 14989 KachelY + 1 10359 -0.26748790 0.96053006 -15.325928 55.034319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96063994-0.96053006) × R
    0.000109880000000007 × 6371000     		dl = 700.045480000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96063994-0.96053006) × R
    0.000109880000000007 × 6371000     		dr = 700.045480000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26767965--0.26748790) × cos(0.96063994) × R
    0.000191749999999991 × 0.572995635221152 × 6371000     		do = 699.993958064807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26767965--0.26748790) × cos(0.96053006) × R
    0.000191749999999991 × 0.573085684840977 × 6371000     		du = 700.103966214833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96063994)-sin(0.96053006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572995635221152-0.573085684840977)×R²
    abs(-0.26748790--0.26767965)×9.00496198251721e-05×R²
    0.000191749999999991×9.00496198251721e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.00496198251721e-05×40589641000000     		ar = 490066.112218265m²