Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14987 / 7782
↖ ↑ ↗
← N 68.244968°
W 15.347901°		 ← 452.79 m → N 68.244968°
W 15.336914°		 →
↑
452.79 m
↓
↑
452.79 m
↓
N 68.240896°
W 15.347901°		 ← 452.87 m →
205 034 m²		 N 68.240896°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457382202148438 y=0.237503051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457382202148438 × 215)
    floor (0.457382202148438 × 32768)
    floor (14987.5)     		tx = 14987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237503051757812 × 215)
    floor (0.237503051757812 × 32768)
    floor (7782.5)     		ty = 7782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14987 / 7782 ti = "15/14987/7782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14987/7782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14987 ÷ 215
    14987 ÷ 32768     		x = 0.457366943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7782 ÷ 215
    7782 ÷ 32768     		y = 0.23748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.08526611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26787140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23748779296875 × 2 - 1) × π
    0.5250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64941284212689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26787140} λ = -0.26787140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64941284212689))-π/2
    2×atan(5.20392340536808)-π/2
    2×1.38094785887532-π/2
    2.76189571775063-1.57079632675     		φ = 1.19109939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26787140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.347901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19109939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.244968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14987 KachelY 7782 -0.26787140 1.19109939 -15.347901 68.244968
    Oben rechts KachelX + 1 14988 KachelY 7782 -0.26767965 1.19109939 -15.336914 68.244968
    Unten links KachelX 14987 KachelY + 1 7783 -0.26787140 1.19102832 -15.347901 68.240896
    Unten rechts KachelX + 1 14988 KachelY + 1 7783 -0.26767965 1.19102832 -15.336914 68.240896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19109939-1.19102832) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dl = 452.786969999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19109939-1.19102832) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dr = 452.786969999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26787140--0.26767965) × cos(1.19109939) × R
    0.000191749999999991 × 0.370639008302344 × 6371000     		do = 452.787160123197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26787140--0.26767965) × cos(1.19102832) × R
    0.000191749999999991 × 0.370705015548015 × 6371000     		du = 452.867797165293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19109939)-sin(1.19102832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370639008302344-0.370705015548015)×R²
    abs(-0.26767965--0.26787140)×6.60072456705185e-05×R²
    0.000191749999999991×6.60072456705185e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.60072456705185e-05×40589641000000     		ar = 205034.38207444m²