Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14986 / 7784
↖ ↑ ↗
← N 68.236823°
W 15.358887°		 ← 452.92 m → N 68.236823°
W 15.347901°		 →
↑
452.98 m
↓
↑
452.98 m
↓
N 68.232749°
W 15.358887°		 ← 453.01 m →
205 183 m²		 N 68.232749°
W 15.347901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457351684570312 y=0.237564086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457351684570312 × 215)
    floor (0.457351684570312 × 32768)
    floor (14986.5)     		tx = 14986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237564086914062 × 215)
    floor (0.237564086914062 × 32768)
    floor (7784.5)     		ty = 7784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14986 / 7784 ti = "15/14986/7784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14986/7784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14986 ÷ 215
    14986 ÷ 32768     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7784 ÷ 215
    7784 ÷ 32768     		y = 0.237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237548828125 × 2 - 1) × π
    0.52490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64902934692993))-π/2
    2×atan(5.20192810835464)-π/2
    2×1.38087677707772-π/2
    2.76175355415544-1.57079632675     		φ = 1.19095723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19095723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.236823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14986 KachelY 7784 -0.26806314 1.19095723 -15.358887 68.236823
    Oben rechts KachelX + 1 14987 KachelY 7784 -0.26787140 1.19095723 -15.347901 68.236823
    Unten links KachelX 14986 KachelY + 1 7785 -0.26806314 1.19088613 -15.358887 68.232749
    Unten rechts KachelX + 1 14987 KachelY + 1 7785 -0.26787140 1.19088613 -15.347901 68.232749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19095723-1.19088613) × R
    7.10999999999906e-05 × 6371000     		dl = 452.97809999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19095723-1.19088613) × R
    7.10999999999906e-05 × 6371000     		dr = 452.97809999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26787140) × cos(1.19095723) × R
    0.000191739999999996 × 0.370771039495761 × 6371000     		do = 452.924832788386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26787140) × cos(1.19088613) × R
    0.000191739999999996 × 0.370837070856688 × 6371000     		du = 453.005495083767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19095723)-sin(1.19088613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370771039495761-0.370837070856688)×R²
    abs(-0.26787140--0.26806314)×6.60313609273655e-05×R²
    0.000191739999999996×6.60313609273655e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.60313609273655e-05×40589641000000     		ar = 205183.299412307m²