Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14986 / 10363
↖ ↑ ↗
← N 55.009126°
W 15.358887°		 ← 700.51 m → N 55.009126°
W 15.347901°		 →
↑
700.56 m
↓
↑
700.56 m
↓
N 55.002826°
W 15.358887°		 ← 700.62 m →
490 783 m²		 N 55.002826°
W 15.347901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457351684570312 y=0.316268920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457351684570312 × 215)
    floor (0.457351684570312 × 32768)
    floor (14986.5)     		tx = 14986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316268920898438 × 215)
    floor (0.316268920898438 × 32768)
    floor (10363.5)     		ty = 10363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14986 / 10363 ti = "15/14986/10363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14986/10363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14986 ÷ 215
    14986 ÷ 32768     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10363 ÷ 215
    10363 ÷ 32768     		y = 0.316253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316253662109375 × 2 - 1) × π
    0.36749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15451229044943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15451229044943))-π/2
    2×atan(3.17247579341935)-π/2
    2×1.26544335028915-π/2
    2.53088670057829-1.57079632675     		φ = 0.96009037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96009037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.009126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14986 KachelY 10363 -0.26806314 0.96009037 -15.358887 55.009126
    Oben rechts KachelX + 1 14987 KachelY 10363 -0.26787140 0.96009037 -15.347901 55.009126
    Unten links KachelX 14986 KachelY + 1 10364 -0.26806314 0.95998041 -15.358887 55.002826
    Unten rechts KachelX + 1 14987 KachelY + 1 10364 -0.26787140 0.95998041 -15.347901 55.002826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96009037-0.95998041) × R
    0.000109959999999965 × 6371000     		dl = 700.555159999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96009037-0.95998041) × R
    0.000109959999999965 × 6371000     		dr = 700.555159999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26787140) × cos(0.96009037) × R
    0.000191739999999996 × 0.573445953388637 × 6371000     		do = 700.507550171523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26787140) × cos(0.95998041) × R
    0.000191739999999996 × 0.573536033925229 × 6371000     		du = 700.617590351655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96009037)-sin(0.95998041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573445953388637-0.573536033925229)×R²
    abs(-0.26787140--0.26806314)×9.00805365926516e-05×R²
    0.000191739999999996×9.00805365926516e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.00805365926516e-05×40589641000000     		ar = 490782.72399352m²