Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14985 / 7530
↖ ↑ ↗
← N 69.248366°
W 15.369873°		 ← 432.85 m → N 69.248366°
W 15.358887°		 →
↑
432.91 m
↓
↑
432.91 m
↓
N 69.244472°
W 15.369873°		 ← 432.93 m →
187 401 m²		 N 69.244472°
W 15.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457321166992188 y=0.229812622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457321166992188 × 215)
    floor (0.457321166992188 × 32768)
    floor (14985.5)     		tx = 14985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229812622070312 × 215)
    floor (0.229812622070312 × 32768)
    floor (7530.5)     		ty = 7530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14985 / 7530 ti = "15/14985/7530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14985/7530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14985 ÷ 215
    14985 ÷ 32768     		x = 0.457305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7530 ÷ 215
    7530 ÷ 32768     		y = 0.22979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.08538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26825489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22979736328125 × 2 - 1) × π
    0.5404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69773323694391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26825489} λ = -0.26825489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69773323694391))-π/2
    2×atan(5.46155330254734)-π/2
    2×1.38970415166942-π/2
    2.77940830333884-1.57079632675     		φ = 1.20861198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26825489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.369873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20861198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.248366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14985 KachelY 7530 -0.26825489 1.20861198 -15.369873 69.248366
    Oben rechts KachelX + 1 14986 KachelY 7530 -0.26806314 1.20861198 -15.358887 69.248366
    Unten links KachelX 14985 KachelY + 1 7531 -0.26825489 1.20854403 -15.369873 69.244472
    Unten rechts KachelX + 1 14986 KachelY + 1 7531 -0.26806314 1.20854403 -15.358887 69.244472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20861198-1.20854403) × R
    6.79499999998168e-05 × 6371000     		dl = 432.909449998833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20861198-1.20854403) × R
    6.79499999998168e-05 × 6371000     		dr = 432.909449998833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26825489--0.26806314) × cos(1.20861198) × R
    0.000191750000000046 × 0.354317714461359 × 6371000     		do = 432.848426956393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26825489--0.26806314) × cos(1.20854403) × R
    0.000191750000000046 × 0.354381255394043 × 6371000     		du = 432.926051053741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20861198)-sin(1.20854403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354317714461359-0.354381255394043)×R²
    abs(-0.26806314--0.26825489)×6.35409326836256e-05×R²
    0.000191750000000046×6.35409326836256e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.35409326836256e-05×40589641000000     		ar = 187400.976621284m²