Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14985 / 14937
↖ ↑ ↗
← S 81.390940°
E149.260254°		 ← 365.74 m → S 81.390940°
E149.282227°		 →
↑
365.70 m
↓
↑
365.70 m
↓
S 81.394229°
E149.260254°		 ← 365.60 m →
133 724 m²		 S 81.394229°
E149.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914642333984375 y=0.911712646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914642333984375 × 214)
    floor (0.914642333984375 × 16384)
    floor (14985.5)     		tx = 14985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911712646484375 × 214)
    floor (0.911712646484375 × 16384)
    floor (14937.5)     		ty = 14937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14985 / 14937 ti = "14/14985/14937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14985/14937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14985 ÷ 214
    14985 ÷ 16384     		x = 0.91461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14937 ÷ 214
    14937 ÷ 16384     		y = 0.91168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91461181640625 × 2 - 1) × π
    0.8292236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60508287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.8233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58667510349823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60508287} λ = 2.60508287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58667510349823))-π/2
    2×atan(0.0752698890850298)-π/2
    2×0.0751282217529878-π/2
    0.150256443505976-1.57079632675     		φ = -1.42053988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60508287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42053988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.390940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14985 KachelY 14937 2.60508287 -1.42053988 149.260254 -81.390940
    Oben rechts KachelX + 1 14986 KachelY 14937 2.60546637 -1.42053988 149.282227 -81.390940
    Unten links KachelX 14985 KachelY + 1 14938 2.60508287 -1.42059728 149.260254 -81.394229
    Unten rechts KachelX + 1 14986 KachelY + 1 14938 2.60546637 -1.42059728 149.282227 -81.394229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42053988--1.42059728) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dl = 365.695399999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42053988--1.42059728) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dr = 365.695399999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60508287-2.60546637) × cos(-1.42053988) × R
    0.00038349999999987 × 0.149691694730747 × 6371000     		do = 365.738499364073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60508287-2.60546637) × cos(-1.42059728) × R
    0.00038349999999987 × 0.149634941225908 × 6371000     		du = 365.5998347459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42053988)-sin(-1.42059728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149691694730747-0.149634941225908)×R²
    abs(2.60546637-2.60508287)×5.67535048390244e-05×R²
    0.00038349999999987×5.67535048390244e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.67535048390244e-05×40589641000000     		ar = 133723.532349475m²