Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14984 / 7785
↖ ↑ ↗
← N 68.232749°
W 15.380859°		 ← 453.03 m → N 68.232749°
W 15.369873°		 →
↑
453.11 m
↓
↑
453.11 m
↓
N 68.228674°
W 15.380859°		 ← 453.11 m →
205 288 m²		 N 68.228674°
W 15.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457290649414062 y=0.237594604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457290649414062 × 215)
    floor (0.457290649414062 × 32768)
    floor (14984.5)     		tx = 14984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237594604492188 × 215)
    floor (0.237594604492188 × 32768)
    floor (7785.5)     		ty = 7785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14984 / 7785 ti = "15/14984/7785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14984/7785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14984 ÷ 215
    14984 ÷ 32768     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7785 ÷ 215
    7785 ÷ 32768     		y = 0.237579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237579345703125 × 2 - 1) × π
    0.52484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64883759933145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64883759933145))-π/2
    2×atan(5.20093074675629)-π/2
    2×1.38084122668399-π/2
    2.76168245336797-1.57079632675     		φ = 1.19088613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19088613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.232749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14984 KachelY 7785 -0.26844664 1.19088613 -15.380859 68.232749
    Oben rechts KachelX + 1 14985 KachelY 7785 -0.26825489 1.19088613 -15.369873 68.232749
    Unten links KachelX 14984 KachelY + 1 7786 -0.26844664 1.19081501 -15.380859 68.228674
    Unten rechts KachelX + 1 14985 KachelY + 1 7786 -0.26825489 1.19081501 -15.369873 68.228674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19088613-1.19081501) × R
    7.11200000000911e-05 × 6371000     		dl = 453.10552000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19088613-1.19081501) × R
    7.11200000000911e-05 × 6371000     		dr = 453.10552000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26825489) × cos(1.19088613) × R
    0.000191749999999991 × 0.370837070856688 × 6371000     		do = 453.029121113539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26825489) × cos(1.19081501) × R
    0.000191749999999991 × 0.370903118916388 × 6371000     		du = 453.109808015655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19088613)-sin(1.19081501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370837070856688-0.370903118916388)×R²
    abs(-0.26825489--0.26844664)×6.60480596995638e-05×R²
    0.000191749999999991×6.60480596995638e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.60480596995638e-05×40589641000000     		ar = 205288.275424002m²