Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14984 / 7688
↖ ↑ ↗
← N 68.624543°
W 15.380859°		 ← 445.26 m → N 68.624543°
W 15.369873°		 →
↑
445.27 m
↓
↑
445.27 m
↓
N 68.620539°
W 15.380859°		 ← 445.34 m →
198 278 m²		 N 68.620539°
W 15.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457290649414062 y=0.234634399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457290649414062 × 215)
    floor (0.457290649414062 × 32768)
    floor (14984.5)     		tx = 14984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234634399414062 × 215)
    floor (0.234634399414062 × 32768)
    floor (7688.5)     		ty = 7688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14984 / 7688 ti = "15/14984/7688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14984/7688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14984 ÷ 215
    14984 ÷ 32768     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7688 ÷ 215
    7688 ÷ 32768     		y = 0.234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234619140625 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66743711638403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66743711638403))-π/2
    2×atan(5.29857076062215)-π/2
    2×1.38426028069164-π/2
    2.76852056138329-1.57079632675     		φ = 1.19772423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19772423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.624543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14984 KachelY 7688 -0.26844664 1.19772423 -15.380859 68.624543
    Oben rechts KachelX + 1 14985 KachelY 7688 -0.26825489 1.19772423 -15.369873 68.624543
    Unten links KachelX 14984 KachelY + 1 7689 -0.26844664 1.19765434 -15.380859 68.620539
    Unten rechts KachelX + 1 14985 KachelY + 1 7689 -0.26825489 1.19765434 -15.369873 68.620539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19772423-1.19765434) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dl = 445.269190000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19772423-1.19765434) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dr = 445.269190000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26825489) × cos(1.19772423) × R
    0.000191749999999991 × 0.364477920888042 × 6371000     		do = 445.260533915206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26825489) × cos(1.19765434) × R
    0.000191749999999991 × 0.364543002406613 × 6371000     		du = 445.340040052741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19772423)-sin(1.19765434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364477920888042-0.364543002406613)×R²
    abs(-0.26825489--0.26844664)×6.50815185708753e-05×R²
    0.000191749999999991×6.50815185708753e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.50815185708753e-05×40589641000000     		ar = 198278.498172289m²