Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14984 / 14761
↖ ↑ ↗
← S 80.792312°
E149.238281°		 ← 390.95 m → S 80.792312°
E149.260254°		 →
↑
390.92 m
↓
↑
390.92 m
↓
S 80.795827°
E149.238281°		 ← 390.80 m →
152 802 m²		 S 80.795827°
E149.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914581298828125 y=0.900970458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914581298828125 × 214)
    floor (0.914581298828125 × 16384)
    floor (14984.5)     		tx = 14984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900970458984375 × 214)
    floor (0.900970458984375 × 16384)
    floor (14761.5)     		ty = 14761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14984 / 14761 ti = "14/14984/14761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14984/14761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14984 ÷ 214
    14984 ÷ 16384     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14761 ÷ 214
    14761 ÷ 16384     		y = 0.90093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.8018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51917994883319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51917994883319))-π/2
    2×atan(0.0805256148052208)-π/2
    2×0.0803522361069425-π/2
    0.160704472213885-1.57079632675     		φ = -1.41009185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41009185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.792312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14984 KachelY 14761 2.60469938 -1.41009185 149.238281 -80.792312
    Oben rechts KachelX + 1 14985 KachelY 14761 2.60508287 -1.41009185 149.260254 -80.792312
    Unten links KachelX 14984 KachelY + 1 14762 2.60469938 -1.41015321 149.238281 -80.795827
    Unten rechts KachelX + 1 14985 KachelY + 1 14762 2.60508287 -1.41015321 149.260254 -80.795827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41009185--1.41015321) × R
    6.13600000001213e-05 × 6371000     		dl = 390.924560000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41009185--1.41015321) × R
    6.13600000001213e-05 × 6371000     		dr = 390.924560000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60508287) × cos(-1.41009185) × R
    0.000383489999999931 × 0.160013645735327 × 6371000     		do = 390.9477058623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60508287) × cos(-1.41015321) × R
    0.000383489999999931 × 0.159953076069858 × 6371000     		du = 390.799721159801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41009185)-sin(-1.41015321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160013645735327-0.159953076069858)×R²
    abs(2.60508287-2.60469938)×6.05696654689403e-05×R²
    0.000383489999999931×6.05696654689403e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.05696654689403e-05×40589641000000     		ar = 152802.134518376m²