Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14984 / 14716
↖ ↑ ↗
← S 80.632740°
E149.238281°		 ← 397.66 m → S 80.632740°
E149.260254°		 →
↑
397.61 m
↓
↑
397.61 m
↓
S 80.636316°
E149.238281°		 ← 397.51 m →
158 087 m²		 S 80.636316°
E149.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914581298828125 y=0.898223876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914581298828125 × 214)
    floor (0.914581298828125 × 16384)
    floor (14984.5)     		tx = 14984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898223876953125 × 214)
    floor (0.898223876953125 × 16384)
    floor (14716.5)     		ty = 14716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14984 / 14716 ti = "14/14984/14716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14984/14716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14984 ÷ 214
    14984 ÷ 16384     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14716 ÷ 214
    14716 ÷ 16384     		y = 0.898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.79638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50192266496997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50192266496997))-π/2
    2×atan(0.0819273282946648)-π/2
    2×0.0817447618519972-π/2
    0.163489523703994-1.57079632675     		φ = -1.40730680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40730680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.632740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14984 KachelY 14716 2.60469938 -1.40730680 149.238281 -80.632740
    Oben rechts KachelX + 1 14985 KachelY 14716 2.60508287 -1.40730680 149.260254 -80.632740
    Unten links KachelX 14984 KachelY + 1 14717 2.60469938 -1.40736921 149.238281 -80.636316
    Unten rechts KachelX + 1 14985 KachelY + 1 14717 2.60508287 -1.40736921 149.260254 -80.636316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40730680--1.40736921) × R
    6.24099999999572e-05 × 6371000     		dl = 397.614109999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40730680--1.40736921) × R
    6.24099999999572e-05 × 6371000     		dr = 397.614109999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60508287) × cos(-1.40730680) × R
    0.000383489999999931 × 0.162762185689055 × 6371000     		do = 397.662979328153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60508287) × cos(-1.40736921) × R
    0.000383489999999931 × 0.162700607588949 × 6371000     		du = 397.512530803234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40730680)-sin(-1.40736921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162762185689055-0.162700607588949)×R²
    abs(2.60508287-2.60469938)×6.15781001057636e-05×R²
    0.000383489999999931×6.15781001057636e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.15781001057636e-05×40589641000000     		ar = 158086.501429528m²