Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14983 / 7528
↖ ↑ ↗
← N 69.256149°
W 15.391846°		 ← 432.69 m → N 69.256149°
W 15.380859°		 →
↑
432.72 m
↓
↑
432.72 m
↓
N 69.252258°
W 15.391846°		 ← 432.77 m →
187 251 m²		 N 69.252258°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457260131835938 y=0.229751586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457260131835938 × 215)
    floor (0.457260131835938 × 32768)
    floor (14983.5)     		tx = 14983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229751586914062 × 215)
    floor (0.229751586914062 × 32768)
    floor (7528.5)     		ty = 7528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14983 / 7528 ti = "15/14983/7528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14983/7528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14983 ÷ 215
    14983 ÷ 32768     		x = 0.457244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7528 ÷ 215
    7528 ÷ 32768     		y = 0.229736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457244873046875 × 2 - 1) × π
    -0.08551025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26863839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229736328125 × 2 - 1) × π
    0.54052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69811673214087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26863839} λ = -0.26863839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69811673214087))-π/2
    2×atan(5.46364818366956)-π/2
    2×1.38977207906002-π/2
    2.77954415812005-1.57079632675     		φ = 1.20874783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26863839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.391846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20874783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.256149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14983 KachelY 7528 -0.26863839 1.20874783 -15.391846 69.256149
    Oben rechts KachelX + 1 14984 KachelY 7528 -0.26844664 1.20874783 -15.380859 69.256149
    Unten links KachelX 14983 KachelY + 1 7529 -0.26863839 1.20867991 -15.391846 69.252258
    Unten rechts KachelX + 1 14984 KachelY + 1 7529 -0.26844664 1.20867991 -15.380859 69.252258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20874783-1.20867991) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dl = 432.718319999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20874783-1.20867991) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dr = 432.718319999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26863839--0.26844664) × cos(1.20874783) × R
    0.000191749999999991 × 0.354190674447077 × 6371000     		do = 432.6932298885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26863839--0.26844664) × cos(1.20867991) × R
    0.000191749999999991 × 0.354254190595702 × 6371000     		du = 432.770823708669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20874783)-sin(1.20867991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354190674447077-0.354254190595702)×R²
    abs(-0.26844664--0.26863839)×6.35161486252644e-05×R²
    0.000191749999999991×6.35161486252644e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.35161486252644e-05×40589641000000     		ar = 187251.075718641m²