Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14983 / 14714
↖ ↑ ↗
← S 80.625585°
E149.216308°		 ← 397.97 m → S 80.625585°
E149.238281°		 →
↑
397.87 m
↓
↑
397.87 m
↓
S 80.629163°
E149.216308°		 ← 397.82 m →
158 312 m²		 S 80.629163°
E149.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914520263671875 y=0.898101806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914520263671875 × 214)
    floor (0.914520263671875 × 16384)
    floor (14983.5)     		tx = 14983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898101806640625 × 214)
    floor (0.898101806640625 × 16384)
    floor (14714.5)     		ty = 14714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14983 / 14714 ti = "14/14983/14714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14983/14714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14983 ÷ 214
    14983 ÷ 16384     		x = 0.91448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14714 ÷ 214
    14714 ÷ 16384     		y = 0.8980712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91448974609375 × 2 - 1) × π
    0.8289794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60431588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8980712890625 × 2 - 1) × π
    -0.796142578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.50115567457605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60431588} λ = 2.60431588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50115567457605))-π/2
    2×atan(0.0819901898724979)-π/2
    2×0.0818072039910888-π/2
    0.163614407982178-1.57079632675     		φ = -1.40718192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60431588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.216308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40718192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.625585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14983 KachelY 14714 2.60431588 -1.40718192 149.216308 -80.625585
    Oben rechts KachelX + 1 14984 KachelY 14714 2.60469938 -1.40718192 149.238281 -80.625585
    Unten links KachelX 14983 KachelY + 1 14715 2.60431588 -1.40724437 149.216308 -80.629163
    Unten rechts KachelX + 1 14984 KachelY + 1 14715 2.60469938 -1.40724437 149.238281 -80.629163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40718192--1.40724437) × R
    6.24499999999362e-05 × 6371000     		dl = 397.868949999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40718192--1.40724437) × R
    6.24499999999362e-05 × 6371000     		dr = 397.868949999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60431588-2.60469938) × cos(-1.40718192) × R
    0.00038349999999987 × 0.162885399185846 × 6371000     		do = 397.974393794561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60431588-2.60469938) × cos(-1.40724437) × R
    0.00038349999999987 × 0.162823782888304 × 6371000     		du = 397.823848019526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40718192)-sin(-1.40724437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162885399185846-0.162823782888304)×R²
    abs(2.60469938-2.60431588)×6.16162975425327e-05×R²
    0.00038349999999987×6.16162975425327e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.16162975425327e-05×40589641000000     		ar = 158311.705492679m²