Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14982 / 7790
↖ ↑ ↗
← N 68.212369°
W 15.402832°		 ← 453.41 m → N 68.212369°
W 15.391846°		 →
↑
453.42 m
↓
↑
453.42 m
↓
N 68.208291°
W 15.402832°		 ← 453.49 m →
205 605 m²		 N 68.208291°
W 15.391846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457229614257812 y=0.237747192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457229614257812 × 215)
    floor (0.457229614257812 × 32768)
    floor (14982.5)     		tx = 14982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237747192382812 × 215)
    floor (0.237747192382812 × 32768)
    floor (7790.5)     		ty = 7790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14982 / 7790 ti = "15/14982/7790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14982/7790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14982 ÷ 215
    14982 ÷ 32768     		x = 0.45721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7790 ÷ 215
    7790 ÷ 32768     		y = 0.23773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26883013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23773193359375 × 2 - 1) × π
    0.5245361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64787886133905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26883013} λ = -0.26883013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64787886133905))-π/2
    2×atan(5.19594680638179)-π/2
    2×1.38066337972804-π/2
    2.76132675945608-1.57079632675     		φ = 1.19053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26883013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.212369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14982 KachelY 7790 -0.26883013 1.19053043 -15.402832 68.212369
    Oben rechts KachelX + 1 14983 KachelY 7790 -0.26863839 1.19053043 -15.391846 68.212369
    Unten links KachelX 14982 KachelY + 1 7791 -0.26883013 1.19045926 -15.402832 68.208291
    Unten rechts KachelX + 1 14983 KachelY + 1 7791 -0.26863839 1.19045926 -15.391846 68.208291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19053043-1.19045926) × R
    7.11700000000093e-05 × 6371000     		dl = 453.424070000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19053043-1.19045926) × R
    7.11700000000093e-05 × 6371000     		dr = 453.424070000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26883013--0.26863839) × cos(1.19053043) × R
    0.000191739999999996 × 0.371167385247963 × 6371000     		do = 453.408999064659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26883013--0.26863839) × cos(1.19045926) × R
    0.000191739999999996 × 0.37123347034842 × 6371000     		du = 453.489727006935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19053043)-sin(1.19045926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371167385247963-0.37123347034842)×R²
    abs(-0.26863839--0.26883013)×6.6085100456581e-05×R²
    0.000191739999999996×6.6085100456581e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.6085100456581e-05×40589641000000     		ar = 205604.855812927m²