Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14982 / 15730
↖ ↑ ↗
← N 79.503659°
W138.850708°		 ← 55.63 m → N 79.503659°
W138.847962°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.503159°
W138.850708°		 ← 55.63 m →
3 094 m²		 N 79.503159°
W138.847962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114307403564453 y=0.120014190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114307403564453 × 217)
    floor (0.114307403564453 × 131072)
    floor (14982.5)     		tx = 14982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120014190673828 × 217)
    floor (0.120014190673828 × 131072)
    floor (15730.5)     		ty = 15730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14982 / 15730 ti = "17/14982/15730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14982/15730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14982 ÷ 217
    14982 ÷ 131072     		x = 0.114303588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15730 ÷ 217
    15730 ÷ 131072     		y = 0.120010375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114303588867188 × 2 - 1) × π
    -0.771392822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42340202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120010375976562 × 2 - 1) × π
    0.759979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38754522247652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42340202} λ = -2.42340202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38754522247652))-π/2
    2×atan(10.8867365985084)-π/2
    2×1.47919847255326-π/2
    2.95839694510652-1.57079632675     		φ = 1.38760062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42340202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.850708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38760062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.503659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14982 KachelY 15730 -2.42340202 1.38760062 -138.850708 79.503659
    Oben rechts KachelX + 1 14983 KachelY 15730 -2.42335409 1.38760062 -138.847962 79.503659
    Unten links KachelX 14982 KachelY + 1 15731 -2.42340202 1.38759189 -138.850708 79.503159
    Unten rechts KachelX + 1 14983 KachelY + 1 15731 -2.42335409 1.38759189 -138.847962 79.503159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38760062-1.38759189) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dl = 55.6188300000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38760062-1.38759189) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dr = 55.6188300000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42340202--2.42335409) × cos(1.38760062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182172729875751 × 6371000     		do = 55.6286346055351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42340202--2.42335409) × cos(1.38759189) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182181313785738 × 6371000     		du = 55.631255805714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38760062)-sin(1.38759189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182172729875751-0.182181313785738)×R²
    abs(-2.42335409--2.42340202)×8.58390998678682e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.58390998678682e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.58390998678682e-06×40589641000000     		ar = 3094.07246533079m²