Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14982 / 14777
↖ ↑ ↗
← S 80.848397°
E149.194336°		 ← 388.59 m → S 80.848397°
E149.216308°		 →
↑
388.50 m
↓
↑
388.50 m
↓
S 80.851891°
E149.194336°		 ← 388.44 m →
150 939 m²		 S 80.851891°
E149.216308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914459228515625 y=0.901947021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914459228515625 × 214)
    floor (0.914459228515625 × 16384)
    floor (14982.5)     		tx = 14982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901947021484375 × 214)
    floor (0.901947021484375 × 16384)
    floor (14777.5)     		ty = 14777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14982 / 14777 ti = "14/14982/14777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14982/14777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14982 ÷ 214
    14982 ÷ 16384     		x = 0.9144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14777 ÷ 214
    14777 ÷ 16384     		y = 0.90191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9144287109375 × 2 - 1) × π
    0.828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60393239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.8038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52531587198456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60393239} λ = 2.60393239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52531587198456))-π/2
    2×atan(0.0800330286020732)-π/2
    2×0.0798628041893294-π/2
    0.159725608378659-1.57079632675     		φ = -1.41107072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60393239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41107072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.848397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14982 KachelY 14777 2.60393239 -1.41107072 149.194336 -80.848397
    Oben rechts KachelX + 1 14983 KachelY 14777 2.60431588 -1.41107072 149.216308 -80.848397
    Unten links KachelX 14982 KachelY + 1 14778 2.60393239 -1.41113170 149.194336 -80.851891
    Unten rechts KachelX + 1 14983 KachelY + 1 14778 2.60431588 -1.41113170 149.216308 -80.851891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41107072--1.41113170) × R
    6.09800000002103e-05 × 6371000     		dl = 388.50358000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41107072--1.41113170) × R
    6.09800000002103e-05 × 6371000     		dr = 388.50358000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60393239-2.60431588) × cos(-1.41107072) × R
    0.000383489999999931 × 0.159047312161531 × 6371000     		do = 388.586745382728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60393239-2.60431588) × cos(-1.41113170) × R
    0.000383489999999931 × 0.158987108082589 × 6371000     		du = 388.439653886639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41107072)-sin(-1.41113170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159047312161531-0.158987108082589)×R²
    abs(2.60431588-2.60393239)×6.02040789418057e-05×R²
    0.000383489999999931×6.02040789418057e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.02040789418057e-05×40589641000000     		ar = 150938.768982479m²