Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14981 / 7780
↖ ↑ ↗
← N 68.253110°
W 15.413818°		 ← 452.63 m → N 68.253110°
W 15.402832°		 →
↑
452.66 m
↓
↑
452.66 m
↓
N 68.249039°
W 15.413818°		 ← 452.71 m →
204 904 m²		 N 68.249039°
W 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457199096679688 y=0.237442016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457199096679688 × 215)
    floor (0.457199096679688 × 32768)
    floor (14981.5)     		tx = 14981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237442016601562 × 215)
    floor (0.237442016601562 × 32768)
    floor (7780.5)     		ty = 7780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14981 / 7780 ti = "15/14981/7780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14981/7780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14981 ÷ 215
    14981 ÷ 32768     		x = 0.457183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7780 ÷ 215
    7780 ÷ 32768     		y = 0.2374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.08563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26902188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2374267578125 × 2 - 1) × π
    0.525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64979633732385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26902188} λ = -0.26902188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64979633732385))-π/2
    2×atan(5.20591946771509)-π/2
    2×1.3810189153594-π/2
    2.76203783071879-1.57079632675     		φ = 1.19124150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26902188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.413818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19124150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.253110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14981 KachelY 7780 -0.26902188 1.19124150 -15.413818 68.253110
    Oben rechts KachelX + 1 14982 KachelY 7780 -0.26883013 1.19124150 -15.402832 68.253110
    Unten links KachelX 14981 KachelY + 1 7781 -0.26902188 1.19117045 -15.413818 68.249039
    Unten rechts KachelX + 1 14982 KachelY + 1 7781 -0.26883013 1.19117045 -15.402832 68.249039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19124150-1.19117045) × R
    7.10500000000724e-05 × 6371000     		dl = 452.659550000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19124150-1.19117045) × R
    7.10500000000724e-05 × 6371000     		dr = 452.659550000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26902188--0.26883013) × cos(1.19124150) × R
    0.000191749999999991 × 0.370507016059995 × 6371000     		do = 452.625913219248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26902188--0.26883013) × cos(1.19117045) × R
    0.000191749999999991 × 0.37057300847263 × 6371000     		du = 452.706532140725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19124150)-sin(1.19117045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370507016059995-0.37057300847263)×R²
    abs(-0.26883013--0.26902188)×6.59924126348854e-05×R²
    0.000191749999999991×6.59924126348854e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.59924126348854e-05×40589641000000     		ar = 204903.688744903m²