Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14981 / 14726
↖ ↑ ↗
← S 80.668436°
E149.172363°		 ← 396.17 m → S 80.668436°
E149.194336°		 →
↑
396.09 m
↓
↑
396.09 m
↓
S 80.671998°
E149.172363°		 ← 396.02 m →
156 888 m²		 S 80.671998°
E149.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914398193359375 y=0.898834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914398193359375 × 214)
    floor (0.914398193359375 × 16384)
    floor (14981.5)     		tx = 14981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898834228515625 × 214)
    floor (0.898834228515625 × 16384)
    floor (14726.5)     		ty = 14726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14981 / 14726 ti = "14/14981/14726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14981/14726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14981 ÷ 214
    14981 ÷ 16384     		x = 0.91436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14726 ÷ 214
    14726 ÷ 16384     		y = 0.8988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91436767578125 × 2 - 1) × π
    0.8287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60354889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50575761693958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60354889} λ = 2.60354889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50575761693958))-π/2
    2×atan(0.0816137426030112)-π/2
    2×0.0814332590018612-π/2
    0.162866518003722-1.57079632675     		φ = -1.40792981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60354889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40792981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.668436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14981 KachelY 14726 2.60354889 -1.40792981 149.172363 -80.668436
    Oben rechts KachelX + 1 14982 KachelY 14726 2.60393239 -1.40792981 149.194336 -80.668436
    Unten links KachelX 14981 KachelY + 1 14727 2.60354889 -1.40799198 149.172363 -80.671998
    Unten rechts KachelX + 1 14982 KachelY + 1 14727 2.60393239 -1.40799198 149.194336 -80.671998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40792981--1.40799198) × R
    6.21700000000835e-05 × 6371000     		dl = 396.085070000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40792981--1.40799198) × R
    6.21700000000835e-05 × 6371000     		dr = 396.085070000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60354889-2.60393239) × cos(-1.40792981) × R
    0.000383500000000314 × 0.162147451774995 × 6371000     		do = 396.171382751957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60354889-2.60393239) × cos(-1.40799198) × R
    0.000383500000000314 × 0.162086104185902 × 6371000     		du = 396.0214935065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40792981)-sin(-1.40799198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162147451774995-0.162086104185902)×R²
    abs(2.60393239-2.60354889)×6.13475890928472e-05×R²
    0.000383500000000314×6.13475890928472e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.13475890928472e-05×40589641000000     		ar = 156887.885475512m²