Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14981 / 10381
↖ ↑ ↗
← N 54.895565°
W 15.413818°		 ← 702.53 m → N 54.895565°
W 15.402832°		 →
↑
702.59 m
↓
↑
702.59 m
↓
N 54.889246°
W 15.413818°		 ← 702.64 m →
493 629 m²		 N 54.889246°
W 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457199096679688 y=0.316818237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457199096679688 × 215)
    floor (0.457199096679688 × 32768)
    floor (14981.5)     		tx = 14981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316818237304688 × 215)
    floor (0.316818237304688 × 32768)
    floor (10381.5)     		ty = 10381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14981 / 10381 ti = "15/14981/10381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14981/10381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14981 ÷ 215
    14981 ÷ 32768     		x = 0.457183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10381 ÷ 215
    10381 ÷ 32768     		y = 0.316802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.08563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26902188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316802978515625 × 2 - 1) × π
    0.36639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15106083367679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26902188} λ = -0.26902188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15106083367679))-π/2
    2×atan(3.16154500477948)-π/2
    2×1.26445233855842-π/2
    2.52890467711684-1.57079632675     		φ = 0.95810835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26902188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.413818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95810835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.895565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14981 KachelY 10381 -0.26902188 0.95810835 -15.413818 54.895565
    Oben rechts KachelX + 1 14982 KachelY 10381 -0.26883013 0.95810835 -15.402832 54.895565
    Unten links KachelX 14981 KachelY + 1 10382 -0.26902188 0.95799807 -15.413818 54.889246
    Unten rechts KachelX + 1 14982 KachelY + 1 10382 -0.26883013 0.95799807 -15.402832 54.889246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95810835-0.95799807) × R
    0.000110280000000018 × 6371000     		dl = 702.593880000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95810835-0.95799807) × R
    0.000110280000000018 × 6371000     		dr = 702.593880000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26902188--0.26883013) × cos(0.95810835) × R
    0.000191749999999991 × 0.575068582754085 × 6371000     		do = 702.526352134229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26902188--0.26883013) × cos(0.95799807) × R
    0.000191749999999991 × 0.575158799898921 × 6371000     		du = 702.636564939384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95810835)-sin(0.95799807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575068582754085-0.575158799898921)×R²
    abs(-0.26883013--0.26902188)×9.02171448360356e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02171448360356e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02171448360356e-05×40589641000000     		ar = 493629.433469614m²