Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14980 / 10388
↖ ↑ ↗
← N 54.851315°
W 15.424805°		 ← 703.30 m → N 54.851315°
W 15.413818°		 →
↑
703.36 m
↓
↑
703.36 m
↓
N 54.844990°
W 15.424805°		 ← 703.41 m →
494 709 m²		 N 54.844990°
W 15.413818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457168579101562 y=0.317031860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457168579101562 × 215)
    floor (0.457168579101562 × 32768)
    floor (14980.5)     		tx = 14980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317031860351562 × 215)
    floor (0.317031860351562 × 32768)
    floor (10388.5)     		ty = 10388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14980 / 10388 ti = "15/14980/10388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14980/10388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14980 ÷ 215
    14980 ÷ 32768     		x = 0.4571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10388 ÷ 215
    10388 ÷ 32768     		y = 0.3170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26921363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3170166015625 × 2 - 1) × π
    0.365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14971860048743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26921363} λ = -0.26921363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14971860048743))-π/2
    2×atan(3.15730432077448)-π/2
    2×1.26406618855345-π/2
    2.52813237710691-1.57079632675     		φ = 0.95733605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26921363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95733605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.851315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14980 KachelY 10388 -0.26921363 0.95733605 -15.424805 54.851315
    Oben rechts KachelX + 1 14981 KachelY 10388 -0.26902188 0.95733605 -15.413818 54.851315
    Unten links KachelX 14980 KachelY + 1 10389 -0.26921363 0.95722565 -15.424805 54.844990
    Unten rechts KachelX + 1 14981 KachelY + 1 10389 -0.26902188 0.95722565 -15.413818 54.844990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95733605-0.95722565) × R
    0.000110399999999955 × 6371000     		dl = 703.358399999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95733605-0.95722565) × R
    0.000110399999999955 × 6371000     		dr = 703.358399999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26921363--0.26902188) × cos(0.95733605) × R
    0.000191749999999991 × 0.575700233841436 × 6371000     		do = 703.298001894842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26921363--0.26902188) × cos(0.95722565) × R
    0.000191749999999991 × 0.57579050008905 × 6371000     		du = 703.408274685878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95733605)-sin(0.95722565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575700233841436-0.57579050008905)×R²
    abs(-0.26902188--0.26921363)×9.02662476144345e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02662476144345e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02662476144345e-05×40589641000000     		ar = 494709.338485278m²