Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14980 / 10376
↖ ↑ ↗
← N 54.927142°
W 15.424805°		 ← 701.98 m → N 54.927142°
W 15.413818°		 →
↑
702.02 m
↓
↑
702.02 m
↓
N 54.920828°
W 15.424805°		 ← 702.09 m →
492 840 m²		 N 54.920828°
W 15.413818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457168579101562 y=0.316665649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457168579101562 × 215)
    floor (0.457168579101562 × 32768)
    floor (14980.5)     		tx = 14980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316665649414062 × 215)
    floor (0.316665649414062 × 32768)
    floor (10376.5)     		ty = 10376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14980 / 10376 ti = "15/14980/10376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14980/10376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14980 ÷ 215
    14980 ÷ 32768     		x = 0.4571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10376 ÷ 215
    10376 ÷ 32768     		y = 0.316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26921363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316650390625 × 2 - 1) × π
    0.36669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15201957166919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26921363} λ = -0.26921363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15201957166919))-π/2
    2×atan(3.16457755156687)-π/2
    2×1.26472790051116-π/2
    2.52945580102233-1.57079632675     		φ = 0.95865947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26921363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95865947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.927142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14980 KachelY 10376 -0.26921363 0.95865947 -15.424805 54.927142
    Oben rechts KachelX + 1 14981 KachelY 10376 -0.26902188 0.95865947 -15.413818 54.927142
    Unten links KachelX 14980 KachelY + 1 10377 -0.26921363 0.95854928 -15.424805 54.920828
    Unten rechts KachelX + 1 14981 KachelY + 1 10377 -0.26902188 0.95854928 -15.413818 54.920828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95865947-0.95854928) × R
    0.00011019000000001 × 6371000     		dl = 702.020490000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95865947-0.95854928) × R
    0.00011019000000001 × 6371000     		dr = 702.020490000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26921363--0.26902188) × cos(0.95865947) × R
    0.000191749999999991 × 0.57461762130305 × 6371000     		do = 701.975439925408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26921363--0.26902188) × cos(0.95854928) × R
    0.000191749999999991 × 0.574707799735884 × 6371000     		du = 702.085605438461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95865947)-sin(0.95854928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57461762130305-0.574707799735884)×R²
    abs(-0.26902188--0.26921363)×9.01784328338762e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01784328338762e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01784328338762e-05×40589641000000     		ar = 492839.812027378m²