Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14979 / 7573
↖ ↑ ↗
← N 69.080335°
W 15.435791°		 ← 436.20 m → N 69.080335°
W 15.424805°		 →
↑
436.22 m
↓
↑
436.22 m
↓
N 69.076412°
W 15.435791°		 ← 436.27 m →
190 296 m²		 N 69.076412°
W 15.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457138061523438 y=0.231124877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457138061523438 × 215)
    floor (0.457138061523438 × 32768)
    floor (14979.5)     		tx = 14979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231124877929688 × 215)
    floor (0.231124877929688 × 32768)
    floor (7573.5)     		ty = 7573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14979 / 7573 ti = "15/14979/7573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14979/7573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14979 ÷ 215
    14979 ÷ 32768     		x = 0.457122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7573 ÷ 215
    7573 ÷ 32768     		y = 0.231109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457122802734375 × 2 - 1) × π
    -0.08575439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26940538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231109619140625 × 2 - 1) × π
    0.53778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68948809020926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26940538} λ = -0.26940538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68948809020926))-π/2
    2×atan(5.41670712986825)-π/2
    2×1.38823780730073-π/2
    2.77647561460147-1.57079632675     		φ = 1.20567929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26940538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.435791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20567929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.080335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14979 KachelY 7573 -0.26940538 1.20567929 -15.435791 69.080335
    Oben rechts KachelX + 1 14980 KachelY 7573 -0.26921363 1.20567929 -15.424805 69.080335
    Unten links KachelX 14979 KachelY + 1 7574 -0.26940538 1.20561082 -15.435791 69.076412
    Unten rechts KachelX + 1 14980 KachelY + 1 7574 -0.26921363 1.20561082 -15.424805 69.076412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20567929-1.20561082) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dl = 436.222369999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20567929-1.20561082) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dr = 436.222369999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26940538--0.26921363) × cos(1.20567929) × R
    0.000191750000000046 × 0.357058618883029 × 6371000     		do = 436.196823378404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26940538--0.26921363) × cos(1.20561082) × R
    0.000191750000000046 × 0.357122574639081 × 6371000     		du = 436.27495424026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20567929)-sin(1.20561082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357058618883029-0.357122574639081)×R²
    abs(-0.26921363--0.26940538)×6.39557560518367e-05×R²
    0.000191750000000046×6.39557560518367e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.39557560518367e-05×40589641000000     		ar = 190295.853369567m²