Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14979 / 15743
↖ ↑ ↗
← N 79.497153°
W138.858948°		 ← 55.66 m → N 79.497153°
W138.856201°		 →
↑
55.68 m
↓
↑
55.68 m
↓
N 79.496652°
W138.858948°		 ← 55.67 m →
3 100 m²		 N 79.496652°
W138.856201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114284515380859 y=0.120113372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114284515380859 × 217)
    floor (0.114284515380859 × 131072)
    floor (14979.5)     		tx = 14979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120113372802734 × 217)
    floor (0.120113372802734 × 131072)
    floor (15743.5)     		ty = 15743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14979 / 15743 ti = "17/14979/15743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14979/15743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14979 ÷ 217
    14979 ÷ 131072     		x = 0.114280700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15743 ÷ 217
    15743 ÷ 131072     		y = 0.120109558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114280700683594 × 2 - 1) × π
    -0.771438598632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.42354583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120109558105469 × 2 - 1) × π
    0.759780883789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.38692204278146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42354583} λ = -2.42354583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38692204278146))-π/2
    2×atan(10.8799543188237)-π/2
    2×1.47914169198532-π/2
    2.95828338397064-1.57079632675     		φ = 1.38748706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42354583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.858948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38748706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.497153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14979 KachelY 15743 -2.42354583 1.38748706 -138.858948 79.497153
    Oben rechts KachelX + 1 14980 KachelY 15743 -2.42349790 1.38748706 -138.856201 79.497153
    Unten links KachelX 14979 KachelY + 1 15744 -2.42354583 1.38747832 -138.858948 79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 14980 KachelY + 1 15744 -2.42349790 1.38747832 -138.856201 79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38748706-1.38747832) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dl = 55.6825399996914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38748706-1.38747832) × R
    8.73999999995156e-06 × 6371000     		dr = 55.6825399996914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42354583--2.42349790) × cos(1.38748706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182284388449606 × 6371000     		do = 55.6627308943143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42354583--2.42349790) × cos(1.38747832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 55.6653550417806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38748706)-sin(1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182284388449606-0.182292982011374)×R²
    abs(-2.42349790--2.42354583)×8.59356176755033e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.59356176755033e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.59356176755033e-06×40589641000000     		ar = 3099.51529907267m²