Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14978 / 10374
↖ ↑ ↗
← N 54.939766°
W 15.446777°		 ← 701.72 m → N 54.939766°
W 15.435791°		 →
↑
701.77 m
↓
↑
701.77 m
↓
N 54.933454°
W 15.446777°		 ← 701.83 m →
492 481 m²		 N 54.933454°
W 15.435791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457107543945312 y=0.316604614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457107543945312 × 215)
    floor (0.457107543945312 × 32768)
    floor (14978.5)     		tx = 14978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316604614257812 × 215)
    floor (0.316604614257812 × 32768)
    floor (10374.5)     		ty = 10374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14978 / 10374 ti = "15/14978/10374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14978/10374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14978 ÷ 215
    14978 ÷ 32768     		x = 0.45709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10374 ÷ 215
    10374 ÷ 32768     		y = 0.31658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.0858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26959712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31658935546875 × 2 - 1) × π
    0.3668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15240306686615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26959712} λ = -0.26959712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15240306686615))-π/2
    2×atan(3.16579138459299)-π/2
    2×1.26483806476951-π/2
    2.52967612953901-1.57079632675     		φ = 0.95887980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26959712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.446777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95887980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.939766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14978 KachelY 10374 -0.26959712 0.95887980 -15.446777 54.939766
    Oben rechts KachelX + 1 14979 KachelY 10374 -0.26940538 0.95887980 -15.435791 54.939766
    Unten links KachelX 14978 KachelY + 1 10375 -0.26959712 0.95876965 -15.446777 54.933454
    Unten rechts KachelX + 1 14979 KachelY + 1 10375 -0.26940538 0.95876965 -15.435791 54.933454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95887980-0.95876965) × R
    0.00011014999999992 × 6371000     		dl = 701.765649999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95887980-0.95876965) × R
    0.00011014999999992 × 6371000     		dr = 701.765649999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26959712--0.26940538) × cos(0.95887980) × R
    0.000191739999999996 × 0.57443728443517 × 6371000     		do = 701.718535930011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26959712--0.26940538) × cos(0.95876965) × R
    0.000191739999999996 × 0.574527444078157 × 6371000     		du = 701.828672744579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95887980)-sin(0.95876965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57443728443517-0.574527444078157)×R²
    abs(-0.26940538--0.26959712)×9.01596429873086e-05×R²
    0.000191739999999996×9.01596429873086e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.01596429873086e-05×40589641000000     		ar = 492480.610098409m²