Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14977 / 7557
↖ ↑ ↗
← N 69.143009°
W 15.457764°		 ← 434.95 m → N 69.143009°
W 15.446777°		 →
↑
434.95 m
↓
↑
434.95 m
↓
N 69.139097°
W 15.457764°		 ← 435.03 m →
189 197 m²		 N 69.139097°
W 15.446777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457077026367188 y=0.230636596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457077026367188 × 215)
    floor (0.457077026367188 × 32768)
    floor (14977.5)     		tx = 14977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230636596679688 × 215)
    floor (0.230636596679688 × 32768)
    floor (7557.5)     		ty = 7557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14977 / 7557 ti = "15/14977/7557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14977/7557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14977 ÷ 215
    14977 ÷ 32768     		x = 0.457061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7557 ÷ 215
    7557 ÷ 32768     		y = 0.230621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457061767578125 × 2 - 1) × π
    -0.08587646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26978887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230621337890625 × 2 - 1) × π
    0.53875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69255605178494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26978887} λ = -0.26978887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69255605178494))-π/2
    2×atan(5.43335089737421)-π/2
    2×1.38878474419568-π/2
    2.77756948839136-1.57079632675     		φ = 1.20677316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26978887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.457764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20677316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.143009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14977 KachelY 7557 -0.26978887 1.20677316 -15.457764 69.143009
    Oben rechts KachelX + 1 14978 KachelY 7557 -0.26959712 1.20677316 -15.446777 69.143009
    Unten links KachelX 14977 KachelY + 1 7558 -0.26978887 1.20670489 -15.457764 69.139097
    Unten rechts KachelX + 1 14978 KachelY + 1 7558 -0.26959712 1.20670489 -15.446777 69.139097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20677316-1.20670489) × R
    6.82700000000924e-05 × 6371000     		dl = 434.948170000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20677316-1.20670489) × R
    6.82700000000924e-05 × 6371000     		dr = 434.948170000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26978887--0.26959712) × cos(1.20677316) × R
    0.000191749999999991 × 0.356036641213395 × 6371000     		do = 434.94833534443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26978887--0.26959712) × cos(1.20670489) × R
    0.000191749999999991 × 0.356100436786763 × 6371000     		du = 435.026270520832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20677316)-sin(1.20670489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356036641213395-0.356100436786763)×R²
    abs(-0.26959712--0.26978887)×6.37955733672757e-05×R²
    0.000191749999999991×6.37955733672757e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.37955733672757e-05×40589641000000     		ar = 189196.931456885m²