Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14976 / 7574
↖ ↑ ↗
← N 69.076412°
W 15.468750°		 ← 436.27 m → N 69.076412°
W 15.457764°		 →
↑
436.35 m
↓
↑
436.35 m
↓
N 69.072488°
W 15.468750°		 ← 436.35 m →
190 386 m²		 N 69.072488°
W 15.457764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457046508789062 y=0.231155395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457046508789062 × 215)
    floor (0.457046508789062 × 32768)
    floor (14976.5)     		tx = 14976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231155395507812 × 215)
    floor (0.231155395507812 × 32768)
    floor (7574.5)     		ty = 7574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14976 / 7574 ti = "15/14976/7574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14976/7574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14976 ÷ 215
    14976 ÷ 32768     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7574 ÷ 215
    7574 ÷ 32768     		y = 0.23114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23114013671875 × 2 - 1) × π
    0.5377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68929634261078))-π/2
    2×atan(5.41566858885648)-π/2
    2×1.38820357166838-π/2
    2.77640714333675-1.57079632675     		φ = 1.20561082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20561082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.076412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14976 KachelY 7574 -0.26998062 1.20561082 -15.468750 69.076412
    Oben rechts KachelX + 1 14977 KachelY 7574 -0.26978887 1.20561082 -15.457764 69.076412
    Unten links KachelX 14976 KachelY + 1 7575 -0.26998062 1.20554233 -15.468750 69.072488
    Unten rechts KachelX + 1 14977 KachelY + 1 7575 -0.26978887 1.20554233 -15.457764 69.072488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20561082-1.20554233) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dl = 436.349789999144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20561082-1.20554233) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dr = 436.349789999144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26978887) × cos(1.20561082) × R
    0.000191749999999991 × 0.357122574639081 × 6371000     		do = 436.274954240134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26978887) × cos(1.20554233) × R
    0.000191749999999991 × 0.357186547401553 × 6371000     		du = 436.353105877701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20561082)-sin(1.20554233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357122574639081-0.357186547401553)×R²
    abs(-0.26978887--0.26998062)×6.39727624722197e-05×R²
    0.000191749999999991×6.39727624722197e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.39727624722197e-05×40589641000000     		ar = 190385.535464803m²