Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14976 / 14720
↖ ↑ ↗
← S 80.647035°
E149.062500°		 ← 397.06 m → S 80.647035°
E149.084473°		 →
↑
396.98 m
↓
↑
396.98 m
↓
S 80.650605°
E149.062500°		 ← 396.91 m →
157 594 m²		 S 80.650605°
E149.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914093017578125 y=0.898468017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914093017578125 × 214)
    floor (0.914093017578125 × 16384)
    floor (14976.5)     		tx = 14976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898468017578125 × 214)
    floor (0.898468017578125 × 16384)
    floor (14720.5)     		ty = 14720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14976 / 14720 ti = "14/14976/14720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14976/14720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14976 ÷ 214
    14976 ÷ 16384     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14720 ÷ 214
    14720 ÷ 16384     		y = 0.8984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8984375 × 2 - 1) × π
    -0.796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50345664575781))-π/2
    2×atan(0.0818017496892705)-π/2
    2×0.0816200192470943-π/2
    0.163240038494189-1.57079632675     		φ = -1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14976 KachelY 14720 2.60163142 -1.40755629 149.062500 -80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 14977 KachelY 14720 2.60201491 -1.40755629 149.084473 -80.647035
    Unten links KachelX 14976 KachelY + 1 14721 2.60163142 -1.40761860 149.062500 -80.650605
    Unten rechts KachelX + 1 14977 KachelY + 1 14721 2.60201491 -1.40761860 149.084473 -80.650605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40755629--1.40761860) × R
    6.23099999998988e-05 × 6371000     		dl = 396.977009999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40755629--1.40761860) × R
    6.23099999998988e-05 × 6371000     		dr = 396.977009999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60201491) × cos(-1.40755629) × R
    0.000383489999999931 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 397.061537551109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60201491) × cos(-1.40761860) × R
    0.000383489999999931 × 0.162454535532735 × 6371000     		du = 396.911323916087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40755629)-sin(-1.40761860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.162454535532735)×R²
    abs(2.60201491-2.60163142)×6.14819604224381e-05×R²
    0.000383489999999931×6.14819604224381e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.14819604224381e-05×40589641000000     		ar = 157594.486333443m²