Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14976 / 14464
↖ ↑ ↗
← N 70.377854°
W 97.734375°		 ← 205.13 m → N 70.377854°
W 97.728882°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
N 70.376009°
W 97.734375°		 ← 205.15 m →
42 084 m²		 N 70.376009°
W 97.728882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228523254394531 y=0.220710754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228523254394531 × 216)
    floor (0.228523254394531 × 65536)
    floor (14976.5)     		tx = 14976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220710754394531 × 216)
    floor (0.220710754394531 × 65536)
    floor (14464.5)     		ty = 14464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14976 / 14464 ti = "16/14976/14464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14976/14464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14976 ÷ 216
    14976 ÷ 65536     		x = 0.228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14464 ÷ 216
    14464 ÷ 65536     		y = 0.220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228515625 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220703125 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70578664} λ = -1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75487402129102))-π/2
    2×atan(5.78271919656833)-π/2
    2×1.39956079926889-π/2
    2.79912159853778-1.57079632675     		φ = 1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14976 KachelY 14464 -1.70578664 1.22832527 -97.734375 70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 14977 KachelY 14464 -1.70569076 1.22832527 -97.728882 70.377854
    Unten links KachelX 14976 KachelY + 1 14465 -1.70578664 1.22829307 -97.734375 70.376009
    Unten rechts KachelX + 1 14977 KachelY + 1 14465 -1.70569076 1.22829307 -97.728882 70.376009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22832527-1.22829307) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22832527-1.22829307) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70578664--1.70569076) × cos(1.22832527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 205.133500209362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70578664--1.70569076) × cos(1.22829307) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335846001834888 × 6371000     		du = 205.15202727279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22832527)-sin(1.22829307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.335846001834888)×R²
    abs(-1.70569076--1.70578664)×3.03298985667722e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.03298985667722e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.03298985667722e-05×40589641000000     		ar = 42084.258442598m²