Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14975 / 10371
↖ ↑ ↗
← N 54.958694°
W 15.479737°		 ← 701.42 m → N 54.958694°
W 15.468750°		 →
↑
701.51 m
↓
↑
701.51 m
↓
N 54.952386°
W 15.479737°		 ← 701.53 m →
492 096 m²		 N 54.952386°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457015991210938 y=0.316513061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457015991210938 × 215)
    floor (0.457015991210938 × 32768)
    floor (14975.5)     		tx = 14975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316513061523438 × 215)
    floor (0.316513061523438 × 32768)
    floor (10371.5)     		ty = 10371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14975 / 10371 ti = "15/14975/10371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14975/10371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14975 ÷ 215
    14975 ÷ 32768     		x = 0.457000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10371 ÷ 215
    10371 ÷ 32768     		y = 0.316497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.08599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27017237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316497802734375 × 2 - 1) × π
    0.36700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15297830966159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27017237} λ = -0.27017237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15297830966159))-π/2
    2×atan(3.16761300716625)-π/2
    2×1.26500324632842-π/2
    2.53000649265683-1.57079632675     		φ = 0.95921017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27017237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.479737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95921017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.958694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14975 KachelY 10371 -0.27017237 0.95921017 -15.479737 54.958694
    Oben rechts KachelX + 1 14976 KachelY 10371 -0.26998062 0.95921017 -15.468750 54.958694
    Unten links KachelX 14975 KachelY + 1 10372 -0.27017237 0.95910006 -15.479737 54.952386
    Unten rechts KachelX + 1 14976 KachelY + 1 10372 -0.26998062 0.95910006 -15.468750 54.952386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95921017-0.95910006) × R
    0.000110109999999941 × 6371000     		dl = 701.510809999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95921017-0.95910006) × R
    0.000110109999999941 × 6371000     		dr = 701.510809999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27017237--0.26998062) × cos(0.95921017) × R
    0.000191749999999991 × 0.574166829191689 × 6371000     		do = 701.424734588578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27017237--0.26998062) × cos(0.95910006) × R
    0.000191749999999991 × 0.574256976988312 × 6371000     		du = 701.534862675234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95921017)-sin(0.95910006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574166829191689-0.574256976988312)×R²
    abs(-0.26998062--0.27017237)×9.01477966230857e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01477966230857e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01477966230857e-05×40589641000000     		ar = 492095.662233642m²