Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14974 / 10354
↖ ↑ ↗
← N 55.065787°
W 15.490722°		 ← 699.52 m → N 55.065787°
W 15.479737°		 →
↑
699.60 m
↓
↑
699.60 m
↓
N 55.059495°
W 15.490722°		 ← 699.63 m →
489 421 m²		 N 55.059495°
W 15.479737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456985473632812 y=0.315994262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456985473632812 × 215)
    floor (0.456985473632812 × 32768)
    floor (14974.5)     		tx = 14974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315994262695312 × 215)
    floor (0.315994262695312 × 32768)
    floor (10354.5)     		ty = 10354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14974 / 10354 ti = "15/14974/10354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14974/10354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14974 ÷ 215
    14974 ÷ 32768     		x = 0.45697021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10354 ÷ 215
    10354 ÷ 32768     		y = 0.31597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45697021484375 × 2 - 1) × π
    -0.0860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27036411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31597900390625 × 2 - 1) × π
    0.3680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15623801883575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27036411} λ = -0.27036411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15623801883575))-π/2
    2×atan(3.17795535170571)-π/2
    2×1.26593780657426-π/2
    2.53187561314851-1.57079632675     		φ = 0.96107929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27036411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.490722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96107929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.065787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14974 KachelY 10354 -0.27036411 0.96107929 -15.490722 55.065787
    Oben rechts KachelX + 1 14975 KachelY 10354 -0.27017237 0.96107929 -15.479737 55.065787
    Unten links KachelX 14974 KachelY + 1 10355 -0.27036411 0.96096948 -15.490722 55.059495
    Unten rechts KachelX + 1 14975 KachelY + 1 10355 -0.27017237 0.96096948 -15.479737 55.059495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96107929-0.96096948) × R
    0.000109809999999988 × 6371000     		dl = 699.599509999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96107929-0.96096948) × R
    0.000109809999999988 × 6371000     		dr = 699.599509999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27036411--0.27017237) × cos(0.96107929) × R
    0.000191739999999996 × 0.572635506939164 × 6371000     		do = 699.517528612368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27036411--0.27017237) × cos(0.96096948) × R
    0.000191739999999996 × 0.572725526831979 × 6371000     		du = 699.627494711543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96107929)-sin(0.96096948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572635506939164-0.572725526831979)×R²
    abs(-0.27017237--0.27036411)×9.00198928144302e-05×R²
    0.000191739999999996×9.00198928144302e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.00198928144302e-05×40589641000000     		ar = 489420.586859926m²