Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14973 / 7595
↖ ↑ ↗
← N 68.993863°
W 15.501709°		 ← 437.92 m → N 68.993863°
W 15.490722°		 →
↑
437.94 m
↓
↑
437.94 m
↓
N 68.989925°
W 15.501709°		 ← 438 m →
191 800 m²		 N 68.989925°
W 15.490722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456954956054688 y=0.231796264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456954956054688 × 215)
    floor (0.456954956054688 × 32768)
    floor (14973.5)     		tx = 14973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231796264648438 × 215)
    floor (0.231796264648438 × 32768)
    floor (7595.5)     		ty = 7595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14973 / 7595 ti = "15/14973/7595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14973/7595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14973 ÷ 215
    14973 ÷ 32768     		x = 0.456939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7595 ÷ 215
    7595 ÷ 32768     		y = 0.231781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456939697265625 × 2 - 1) × π
    -0.08612060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27055586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231781005859375 × 2 - 1) × π
    0.53643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68526964304269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27055586} λ = -0.27055586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68526964304269))-π/2
    2×atan(5.39390516527957)-π/2
    2×1.3874832053914-π/2
    2.7749664107828-1.57079632675     		φ = 1.20417008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27055586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.501709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20417008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.993863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14973 KachelY 7595 -0.27055586 1.20417008 -15.501709 68.993863
    Oben rechts KachelX + 1 14974 KachelY 7595 -0.27036411 1.20417008 -15.490722 68.993863
    Unten links KachelX 14973 KachelY + 1 7596 -0.27055586 1.20410134 -15.501709 68.989925
    Unten rechts KachelX + 1 14974 KachelY + 1 7596 -0.27036411 1.20410134 -15.490722 68.989925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20417008-1.20410134) × R
    6.87399999999005e-05 × 6371000     		dl = 437.942539999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20417008-1.20410134) × R
    6.87399999999005e-05 × 6371000     		dr = 437.942539999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27055586--0.27036411) × cos(1.20417008) × R
    0.000191749999999991 × 0.358467937571964 × 6371000     		do = 437.918502404439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27055586--0.27036411) × cos(1.20410134) × R
    0.000191749999999991 × 0.358532108404729 × 6371000     		du = 437.99689601245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20417008)-sin(1.20410134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358467937571964-0.358532108404729)×R²
    abs(-0.27036411--0.27055586)×6.41708327648871e-05×R²
    0.000191749999999991×6.41708327648871e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.41708327648871e-05×40589641000000     		ar = 191800.307279326m²