Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14973 / 7593
↖ ↑ ↗
← N 69.001739°
W 15.501709°		 ← 437.76 m → N 69.001739°
W 15.490722°		 →
↑
437.82 m
↓
↑
437.82 m
↓
N 68.997801°
W 15.501709°		 ← 437.84 m →
191 676 m²		 N 68.997801°
W 15.490722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456954956054688 y=0.231735229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456954956054688 × 215)
    floor (0.456954956054688 × 32768)
    floor (14973.5)     		tx = 14973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231735229492188 × 215)
    floor (0.231735229492188 × 32768)
    floor (7593.5)     		ty = 7593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14973 / 7593 ti = "15/14973/7593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14973/7593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14973 ÷ 215
    14973 ÷ 32768     		x = 0.456939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7593 ÷ 215
    7593 ÷ 32768     		y = 0.231719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456939697265625 × 2 - 1) × π
    -0.08612060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27055586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231719970703125 × 2 - 1) × π
    0.53656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68565313823965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27055586} λ = -0.27055586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68565313823965))-π/2
    2×atan(5.39597409869097)-π/2
    2×1.38755192845416-π/2
    2.77510385690833-1.57079632675     		φ = 1.20430753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27055586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.501709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20430753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.001739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14973 KachelY 7593 -0.27055586 1.20430753 -15.501709 69.001739
    Oben rechts KachelX + 1 14974 KachelY 7593 -0.27036411 1.20430753 -15.490722 69.001739
    Unten links KachelX 14973 KachelY + 1 7594 -0.27055586 1.20423881 -15.501709 68.997801
    Unten rechts KachelX + 1 14974 KachelY + 1 7594 -0.27036411 1.20423881 -15.490722 68.997801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20430753-1.20423881) × R
    6.87199999998001e-05 × 6371000     		dl = 437.815119998726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20430753-1.20423881) × R
    6.87199999998001e-05 × 6371000     		dr = 437.815119998726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27055586--0.27036411) × cos(1.20430753) × R
    0.000191749999999991 × 0.358339618832992 × 6371000     		do = 437.7617431964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27055586--0.27036411) × cos(1.20423881) × R
    0.000191749999999991 × 0.358403774381037 × 6371000     		du = 437.840118131998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20430753)-sin(1.20423881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358339618832992-0.358403774381037)×R²
    abs(-0.27036411--0.27055586)×6.41555480456191e-05×R²
    0.000191749999999991×6.41555480456191e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.41555480456191e-05×40589641000000     		ar = 191675.867069757m²