Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14973 / 14875
↖ ↑ ↗
← S 81.184599°
E148.996582°		 ← 374.44 m → S 81.184599°
E149.018555°		 →
↑
374.36 m
↓
↑
374.36 m
↓
S 81.187965°
E148.996582°		 ← 374.29 m →
140 147 m²		 S 81.187965°
E149.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913909912109375 y=0.907928466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913909912109375 × 214)
    floor (0.913909912109375 × 16384)
    floor (14973.5)     		tx = 14973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907928466796875 × 214)
    floor (0.907928466796875 × 16384)
    floor (14875.5)     		ty = 14875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14973 / 14875 ti = "14/14973/14875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14973/14875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14973 ÷ 214
    14973 ÷ 16384     		x = 0.91387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14875 ÷ 214
    14875 ÷ 16384     		y = 0.90789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91387939453125 × 2 - 1) × π
    0.8277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60048093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.8157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56289840128668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60048093} λ = 2.60048093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56289840128668))-π/2
    2×atan(0.0770810046787748)-π/2
    2×0.0769288881413635-π/2
    0.153857776282727-1.57079632675     		φ = -1.41693855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60048093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.996582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41693855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.184599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14973 KachelY 14875 2.60048093 -1.41693855 148.996582 -81.184599
    Oben rechts KachelX + 1 14974 KachelY 14875 2.60086443 -1.41693855 149.018555 -81.184599
    Unten links KachelX 14973 KachelY + 1 14876 2.60048093 -1.41699731 148.996582 -81.187965
    Unten rechts KachelX + 1 14974 KachelY + 1 14876 2.60086443 -1.41699731 149.018555 -81.187965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41693855--1.41699731) × R
    5.87599999999355e-05 × 6371000     		dl = 374.359959999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41693855--1.41699731) × R
    5.87599999999355e-05 × 6371000     		dr = 374.359959999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60048093-2.60086443) × cos(-1.41693855) × R
    0.000383500000000314 × 0.153251469131349 × 6371000     		do = 374.436019622345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60048093-2.60086443) × cos(-1.41699731) × R
    0.000383500000000314 × 0.153193402985605 × 6371000     		du = 374.294147856871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41693855)-sin(-1.41699731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153251469131349-0.153193402985605)×R²
    abs(2.60086443-2.60048093)×5.80661457439402e-05×R²
    0.000383500000000314×5.80661457439402e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.80661457439402e-05×40589641000000     		ar = 140147.297814241m²