Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14972 / 10852
↖ ↑ ↗
← N 76.053213°
W 97.756348°		 ← 147.21 m → N 76.053213°
W 97.750855°		 →
↑
147.17 m
↓
↑
147.17 m
↓
N 76.051889°
W 97.756348°		 ← 147.23 m →
21 666 m²		 N 76.051889°
W 97.750855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228462219238281 y=0.165596008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228462219238281 × 216)
    floor (0.228462219238281 × 65536)
    floor (14972.5)     		tx = 14972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165596008300781 × 216)
    floor (0.165596008300781 × 65536)
    floor (10852.5)     		ty = 10852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14972 / 10852 ti = "16/14972/10852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14972/10852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14972 ÷ 216
    14972 ÷ 65536     		x = 0.22845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10852 ÷ 216
    10852 ÷ 65536     		y = 0.16558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.5430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70617013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16558837890625 × 2 - 1) × π
    0.6688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1011701841463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70617013} λ = -1.70617013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1011701841463))-π/2
    2×atan(8.1757314284114)-π/2
    2×1.44908765052308-π/2
    2.89817530104616-1.57079632675     		φ = 1.32737897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70617013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.756348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32737897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.053213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14972 KachelY 10852 -1.70617013 1.32737897 -97.756348 76.053213
    Oben rechts KachelX + 1 14973 KachelY 10852 -1.70607426 1.32737897 -97.750855 76.053213
    Unten links KachelX 14972 KachelY + 1 10853 -1.70617013 1.32735587 -97.756348 76.051889
    Unten rechts KachelX + 1 14973 KachelY + 1 10853 -1.70607426 1.32735587 -97.750855 76.051889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32737897-1.32735587) × R
    2.30999999999426e-05 × 6371000     		dl = 147.170099999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32737897-1.32735587) × R
    2.30999999999426e-05 × 6371000     		dr = 147.170099999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70617013--1.70607426) × cos(1.32737897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241020640411579 × 6371000     		do = 147.212459480957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70617013--1.70607426) × cos(1.32735587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241043059359039 × 6371000     		du = 147.226152699882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32737897)-sin(1.32735587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241020640411579-0.241043059359039)×R²
    abs(-1.70607426--1.70617013)×2.24189474603287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24189474603287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24189474603287e-05×40589641000000     		ar = 21666.2800001437m²