Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14972 / 10356
↖ ↑ ↗
← N 55.053203°
W 15.512695°		 ← 699.77 m → N 55.053203°
W 15.501709°		 →
↑
699.85 m
↓
↑
699.85 m
↓
N 55.046909°
W 15.512695°		 ← 699.88 m →
489 778 m²		 N 55.046909°
W 15.501709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456924438476562 y=0.316055297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456924438476562 × 215)
    floor (0.456924438476562 × 32768)
    floor (14972.5)     		tx = 14972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316055297851562 × 215)
    floor (0.316055297851562 × 32768)
    floor (10356.5)     		ty = 10356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14972 / 10356 ti = "15/14972/10356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14972/10356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14972 ÷ 215
    14972 ÷ 32768     		x = 0.4569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10356 ÷ 215
    10356 ÷ 32768     		y = 0.3160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27074761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3160400390625 × 2 - 1) × π
    0.367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15585452363879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27074761} λ = -0.27074761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15585452363879))-π/2
    2×atan(3.17673685475097)-π/2
    2×1.26582798782908-π/2
    2.53165597565815-1.57079632675     		φ = 0.96085965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27074761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.512695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96085965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.053203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14972 KachelY 10356 -0.27074761 0.96085965 -15.512695 55.053203
    Oben rechts KachelX + 1 14973 KachelY 10356 -0.27055586 0.96085965 -15.501709 55.053203
    Unten links KachelX 14972 KachelY + 1 10357 -0.27074761 0.96074980 -15.512695 55.046909
    Unten rechts KachelX + 1 14973 KachelY + 1 10357 -0.27055586 0.96074980 -15.501709 55.046909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96085965-0.96074980) × R
    0.000109849999999967 × 6371000     		dl = 699.854349999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96085965-0.96074980) × R
    0.000109849999999967 × 6371000     		dr = 699.854349999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27074761--0.27055586) × cos(0.96085965) × R
    0.000191750000000046 × 0.572815556212419 × 6371000     		do = 699.773966479841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27074761--0.27055586) × cos(0.96074980) × R
    0.000191750000000046 × 0.572905595075626 × 6371000     		du = 699.883961489159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96085965)-sin(0.96074980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572815556212419-0.572905595075626)×R²
    abs(-0.27055586--0.27074761)×9.00388632065763e-05×R²
    0.000191750000000046×9.00388632065763e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.00388632065763e-05×40589641000000     		ar = 489778.345192435m²