Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14971 / 6827
↖ ↑ ↗
← N 71.818559°
W 15.523682°		 ← 381.18 m → N 71.818559°
W 15.512695°		 →
↑
381.24 m
↓
↑
381.24 m
↓
N 71.815130°
W 15.523682°		 ← 381.25 m →
145 336 m²		 N 71.815130°
W 15.512695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456893920898438 y=0.208358764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456893920898438 × 215)
    floor (0.456893920898438 × 32768)
    floor (14971.5)     		tx = 14971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208358764648438 × 215)
    floor (0.208358764648438 × 32768)
    floor (6827.5)     		ty = 6827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14971 / 6827 ti = "15/14971/6827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14971/6827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14971 ÷ 215
    14971 ÷ 32768     		x = 0.456878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6827 ÷ 215
    6827 ÷ 32768     		y = 0.208343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.08624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27093936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208343505859375 × 2 - 1) × π
    0.58331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83253179867551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27093936} λ = -0.27093936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83253179867551))-π/2
    2×atan(6.24968960100304)-π/2
    2×1.41213331636441-π/2
    2.82426663272883-1.57079632675     		φ = 1.25347031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27093936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.523682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25347031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.818559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14971 KachelY 6827 -0.27093936 1.25347031 -15.523682 71.818559
    Oben rechts KachelX + 1 14972 KachelY 6827 -0.27074761 1.25347031 -15.512695 71.818559
    Unten links KachelX 14971 KachelY + 1 6828 -0.27093936 1.25341047 -15.523682 71.815130
    Unten rechts KachelX + 1 14972 KachelY + 1 6828 -0.27074761 1.25341047 -15.512695 71.815130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25347031-1.25341047) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dl = 381.240640000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25347031-1.25341047) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dr = 381.240640000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27093936--0.27074761) × cos(1.25347031) × R
    0.000191749999999991 × 0.312027199471222 × 6371000     		do = 381.184673941605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27093936--0.27074761) × cos(1.25341047) × R
    0.000191749999999991 × 0.312084051290974 × 6371000     		du = 381.254126356048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25347031)-sin(1.25341047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312027199471222-0.312084051290974)×R²
    abs(-0.27074761--0.27093936)×5.68518197521795e-05×R²
    0.000191749999999991×5.68518197521795e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.68518197521795e-05×40589641000000     		ar = 145336.32813653m²