Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14970 / 7567
↖ ↑ ↗
← N 69.103859°
W 15.534668°		 ← 435.71 m → N 69.103859°
W 15.523682°		 →
↑
435.78 m
↓
↑
435.78 m
↓
N 69.099940°
W 15.534668°		 ← 435.78 m →
189 887 m²		 N 69.099940°
W 15.523682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456863403320312 y=0.230941772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456863403320312 × 215)
    floor (0.456863403320312 × 32768)
    floor (14970.5)     		tx = 14970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230941772460938 × 215)
    floor (0.230941772460938 × 32768)
    floor (7567.5)     		ty = 7567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14970 / 7567 ti = "15/14970/7567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14970/7567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14970 ÷ 215
    14970 ÷ 32768     		x = 0.45684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7567 ÷ 215
    7567 ÷ 32768     		y = 0.230926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.0863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27113110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230926513671875 × 2 - 1) × π
    0.53814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69063857580014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27113110} λ = -0.27113110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69063857580014))-π/2
    2×atan(5.42294255956943)-π/2
    2×1.38844309236987-π/2
    2.77688618473973-1.57079632675     		φ = 1.20608986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27113110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.534668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20608986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.103859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14970 KachelY 7567 -0.27113110 1.20608986 -15.534668 69.103859
    Oben rechts KachelX + 1 14971 KachelY 7567 -0.27093936 1.20608986 -15.523682 69.103859
    Unten links KachelX 14970 KachelY + 1 7568 -0.27113110 1.20602146 -15.534668 69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 14971 KachelY + 1 7568 -0.27093936 1.20602146 -15.523682 69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20608986-1.20602146) × R
    6.83999999999685e-05 × 6371000     		dl = 435.776399999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20608986-1.20602146) × R
    6.83999999999685e-05 × 6371000     		dr = 435.776399999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27113110--0.27093936) × cos(1.20608986) × R
    0.000191739999999996 × 0.356675082761584 × 6371000     		do = 435.705556829018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27113110--0.27093936) × cos(1.20602146) × R
    0.000191739999999996 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 435.783615988313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20608986)-sin(1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356675082761584-0.356738983156393)×R²
    abs(-0.27093936--0.27113110)×6.39003948088024e-05×R²
    0.000191739999999996×6.39003948088024e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.39003948088024e-05×40589641000000     		ar = 189887.207259182m²