Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14968 / 20631
↖ ↑ ↗
← S 42.220382°
W 15.556641°		 ← 904.70 m → S 42.220382°
W 15.545654°		 →
↑
904.68 m
↓
↑
904.68 m
↓
S 42.228518°
W 15.556641°		 ← 904.59 m →
818 417 m²		 S 42.228518°
W 15.545654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456802368164062 y=0.629623413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456802368164062 × 215)
    floor (0.456802368164062 × 32768)
    floor (14968.5)     		tx = 14968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629623413085938 × 215)
    floor (0.629623413085938 × 32768)
    floor (20631.5)     		ty = 20631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14968 / 20631 ti = "15/14968/20631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14968/20631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14968 ÷ 215
    14968 ÷ 32768     		x = 0.456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20631 ÷ 215
    20631 ÷ 32768     		y = 0.629608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.08642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27151460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.25921630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814352050745514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27151460} λ = -0.27151460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814352050745514))-π/2
    2×atan(0.44292622812205)-π/2
    2×0.416955826618586-π/2
    0.833911653237173-1.57079632675     		φ = -0.73688467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27151460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.556641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73688467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.220382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14968 KachelY 20631 -0.27151460 -0.73688467 -15.556641 -42.220382
    Oben rechts KachelX + 1 14969 KachelY 20631 -0.27132285 -0.73688467 -15.545654 -42.220382
    Unten links KachelX 14968 KachelY + 1 20632 -0.27151460 -0.73702667 -15.556641 -42.228518
    Unten rechts KachelX + 1 14969 KachelY + 1 20632 -0.27132285 -0.73702667 -15.545654 -42.228518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73688467--0.73702667) × R
    0.000141999999999975 × 6371000     		dl = 904.681999999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73688467--0.73702667) × R
    0.000141999999999975 × 6371000     		dr = 904.681999999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27151460--0.27132285) × cos(-0.73688467) × R
    0.000191749999999991 × 0.740565601171915 × 6371000     		do = 904.704005591412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27151460--0.27132285) × cos(-0.73702667) × R
    0.000191749999999991 × 0.74047017196791 × 6371000     		du = 904.587425530204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73688467)-sin(-0.73702667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740565601171915-0.74047017196791)×R²
    abs(-0.27132285--0.27151460)×9.54292040046267e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54292040046267e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54292040046267e-05×40589641000000     		ar = 818416.69662066m²