Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14967 / 10937
↖ ↑ ↗
← N 75.940230°
W 97.783813°		 ← 148.38 m → N 75.940230°
W 97.778321°		 →
↑
148.38 m
↓
↑
148.38 m
↓
N 75.938895°
W 97.783813°		 ← 148.39 m →
22 018 m²		 N 75.938895°
W 97.778321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228385925292969 y=0.166893005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228385925292969 × 216)
    floor (0.228385925292969 × 65536)
    floor (14967.5)     		tx = 14967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166893005371094 × 216)
    floor (0.166893005371094 × 65536)
    floor (10937.5)     		ty = 10937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14967 / 10937 ti = "16/14967/10937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14967/10937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14967 ÷ 216
    14967 ÷ 65536     		x = 0.228378295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10937 ÷ 216
    10937 ÷ 65536     		y = 0.166885375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228378295898438 × 2 - 1) × π
    -0.543243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70664950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166885375976562 × 2 - 1) × π
    0.666229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09302091121089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70664950} λ = -1.70664950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09302091121089))-π/2
    2×atan(8.10937590342234)-π/2
    2×1.4481016858104-π/2
    2.8962033716208-1.57079632675     		φ = 1.32540704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70664950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.783813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32540704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.940230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14967 KachelY 10937 -1.70664950 1.32540704 -97.783813 75.940230
    Oben rechts KachelX + 1 14968 KachelY 10937 -1.70655363 1.32540704 -97.778321 75.940230
    Unten links KachelX 14967 KachelY + 1 10938 -1.70664950 1.32538375 -97.783813 75.938895
    Unten rechts KachelX + 1 14968 KachelY + 1 10938 -1.70655363 1.32538375 -97.778321 75.938895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32540704-1.32538375) × R
    2.32899999998981e-05 × 6371000     		dl = 148.380589999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32540704-1.32538375) × R
    2.32899999998981e-05 × 6371000     		dr = 148.380589999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70664950--1.70655363) × cos(1.32540704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242933968049879 × 6371000     		do = 148.381096602433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70664950--1.70655363) × cos(1.32538375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242956560281442 × 6371000     		du = 148.394895661169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32540704)-sin(1.32538375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242933968049879-0.242956560281442)×R²
    abs(-1.70655363--1.70664950)×2.25922315635063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25922315635063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25922315635063e-05×40589641000000     		ar = 22017.8984160774m²