Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14966 / 6817
↖ ↑ ↗
← N 71.852808°
W 15.578613°		 ← 380.47 m → N 71.852808°
W 15.567627°		 →
↑
380.54 m
↓
↑
380.54 m
↓
N 71.849385°
W 15.578613°		 ← 380.54 m →
144 798 m²		 N 71.849385°
W 15.567627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456741333007812 y=0.208053588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456741333007812 × 215)
    floor (0.456741333007812 × 32768)
    floor (14966.5)     		tx = 14966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208053588867188 × 215)
    floor (0.208053588867188 × 32768)
    floor (6817.5)     		ty = 6817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14966 / 6817 ti = "15/14966/6817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14966/6817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14966 ÷ 215
    14966 ÷ 32768     		x = 0.45672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6817 ÷ 215
    6817 ÷ 32768     		y = 0.208038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.0865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27189809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208038330078125 × 2 - 1) × π
    0.58392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83444927466031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27189809} λ = -0.27189809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83444927466031))-π/2
    2×atan(6.26168472723345)-π/2
    2×1.41243219635724-π/2
    2.82486439271448-1.57079632675     		φ = 1.25406807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27189809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.578613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25406807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.852808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14966 KachelY 6817 -0.27189809 1.25406807 -15.578613 71.852808
    Oben rechts KachelX + 1 14967 KachelY 6817 -0.27170635 1.25406807 -15.567627 71.852808
    Unten links KachelX 14966 KachelY + 1 6818 -0.27189809 1.25400834 -15.578613 71.849385
    Unten rechts KachelX + 1 14967 KachelY + 1 6818 -0.27170635 1.25400834 -15.567627 71.849385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25406807-1.25400834) × R
    5.97300000000356e-05 × 6371000     		dl = 380.539830000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25406807-1.25400834) × R
    5.97300000000356e-05 × 6371000     		dr = 380.539830000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27189809--0.27170635) × cos(1.25406807) × R
    0.000191739999999996 × 0.311459228021123 × 6371000     		do = 380.470974657878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27189809--0.27170635) × cos(1.25400834) × R
    0.000191739999999996 × 0.311515986466436 × 6371000     		du = 380.540309386361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25406807)-sin(1.25400834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311459228021123-0.311515986466436)×R²
    abs(-0.27170635--0.27189809)×5.67584453127767e-05×R²
    0.000191739999999996×5.67584453127767e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.67584453127767e-05×40589641000000     		ar = 144797.552372513m²