Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14966 / 15723
↖ ↑ ↗
← N 79.507161°
W138.894653°		 ← 55.61 m → N 79.507161°
W138.891907°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.506661°
W138.894653°		 ← 55.61 m →
3 093 m²		 N 79.506661°
W138.891907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114185333251953 y=0.119960784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114185333251953 × 217)
    floor (0.114185333251953 × 131072)
    floor (14966.5)     		tx = 14966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119960784912109 × 217)
    floor (0.119960784912109 × 131072)
    floor (15723.5)     		ty = 15723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14966 / 15723 ti = "17/14966/15723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14966/15723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14966 ÷ 217
    14966 ÷ 131072     		x = 0.114181518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15723 ÷ 217
    15723 ÷ 131072     		y = 0.119956970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114181518554688 × 2 - 1) × π
    -0.771636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42416901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119956970214844 × 2 - 1) × π
    0.760086059570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.38788078077386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42416901} λ = -2.42416901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38788078077386))-π/2
    2×atan(10.8903903462934)-π/2
    2×1.47922903229728-π/2
    2.95845806459456-1.57079632675     		φ = 1.38766174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42416901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.894653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38766174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.507161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14966 KachelY 15723 -2.42416901 1.38766174 -138.894653 79.507161
    Oben rechts KachelX + 1 14967 KachelY 15723 -2.42412108 1.38766174 -138.891907 79.507161
    Unten links KachelX 14966 KachelY + 1 15724 -2.42416901 1.38765301 -138.894653 79.506661
    Unten rechts KachelX + 1 14967 KachelY + 1 15724 -2.42412108 1.38765301 -138.891907 79.506661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38766174-1.38765301) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dl = 55.6188300000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38766174-1.38765301) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dr = 55.6188300000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42416901--2.42412108) × cos(1.38766174) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182112632284354 × 6371000     		do = 55.6102830830279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42416901--2.42412108) × cos(1.38765301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18212121629153 × 6371000     		du = 55.6129043128848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38766174)-sin(1.38765301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182112632284354-0.18212121629153)×R²
    abs(-2.42412108--2.42416901)×8.58400717634877e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.58400717634877e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.58400717634877e-06×40589641000000     		ar = 3093.05177595378m²