Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14966 / 14822
↖ ↑ ↗
← S 81.004326°
E148.842773°		 ← 382.03 m → S 81.004326°
E148.864746°		 →
↑
381.94 m
↓
↑
381.94 m
↓
S 81.007760°
E148.842773°		 ← 381.89 m →
145 886 m²		 S 81.007760°
E148.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913482666015625 y=0.904693603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913482666015625 × 214)
    floor (0.913482666015625 × 16384)
    floor (14966.5)     		tx = 14966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904693603515625 × 214)
    floor (0.904693603515625 × 16384)
    floor (14822.5)     		ty = 14822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14966 / 14822 ti = "14/14966/14822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14966/14822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14966 ÷ 214
    14966 ÷ 16384     		x = 0.9134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14822 ÷ 214
    14822 ÷ 16384     		y = 0.9046630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    0.826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59779646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.809326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59779646} λ = 2.59779646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54257315584778))-π/2
    2×atan(0.0786637251214435)-π/2
    2×0.0785020683333417-π/2
    0.157004136666683-1.57079632675     		φ = -1.41379219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59779646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41379219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.004326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14966 KachelY 14822 2.59779646 -1.41379219 148.842773 -81.004326
    Oben rechts KachelX + 1 14967 KachelY 14822 2.59817996 -1.41379219 148.864746 -81.004326
    Unten links KachelX 14966 KachelY + 1 14823 2.59779646 -1.41385214 148.842773 -81.007760
    Unten rechts KachelX + 1 14967 KachelY + 1 14823 2.59817996 -1.41385214 148.864746 -81.007760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41379219--1.41385214) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dl = 381.941450000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41379219--1.41385214) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dr = 381.941450000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59779646-2.59817996) × cos(-1.41379219) × R
    0.00038349999999987 × 0.156359898189517 × 6371000     		do = 382.030777508507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59779646-2.59817996) × cos(-1.41385214) × R
    0.00038349999999987 × 0.156300685284705 × 6371000     		du = 381.886103891256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41379219)-sin(-1.41385214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156359898189517-0.156300685284705)×R²
    abs(2.59817996-2.59779646)×5.92129048124224e-05×R²
    0.00038349999999987×5.92129048124224e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.92129048124224e-05×40589641000000     		ar = 145885.760725039m²