Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14966 / 10963
↖ ↑ ↗
← N 75.905492°
W 97.789306°		 ← 148.74 m → N 75.905492°
W 97.783813°		 →
↑
148.76 m
↓
↑
148.76 m
↓
N 75.904154°
W 97.789306°		 ← 148.75 m →
22 128 m²		 N 75.904154°
W 97.783813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228370666503906 y=0.167289733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228370666503906 × 216)
    floor (0.228370666503906 × 65536)
    floor (14966.5)     		tx = 14966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167289733886719 × 216)
    floor (0.167289733886719 × 65536)
    floor (10963.5)     		ty = 10963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14966 / 10963 ti = "16/14966/10963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14966/10963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14966 ÷ 216
    14966 ÷ 65536     		x = 0.228363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10963 ÷ 216
    10963 ÷ 65536     		y = 0.167282104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.54327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70674537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167282104492188 × 2 - 1) × π
    0.665435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09052819243065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70674537} λ = -1.70674537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09052819243065))-π/2
    2×atan(8.08918668328997)-π/2
    2×1.44779853643596-π/2
    2.89559707287192-1.57079632675     		φ = 1.32480075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70674537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.789306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32480075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.905492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14966 KachelY 10963 -1.70674537 1.32480075 -97.789306 75.905492
    Oben rechts KachelX + 1 14967 KachelY 10963 -1.70664950 1.32480075 -97.783813 75.905492
    Unten links KachelX 14966 KachelY + 1 10964 -1.70674537 1.32477740 -97.789306 75.904154
    Unten rechts KachelX + 1 14967 KachelY + 1 10964 -1.70664950 1.32477740 -97.783813 75.904154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32480075-1.32477740) × R
    2.33499999999776e-05 × 6371000     		dl = 148.762849999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32480075-1.32477740) × R
    2.33499999999776e-05 × 6371000     		dr = 148.762849999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70674537--1.70664950) × cos(1.32480075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243522050629975 × 6371000     		do = 148.740290250107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70674537--1.70664950) × cos(1.32477740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243544697620261 × 6371000     		du = 148.7541227548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32480075)-sin(1.32477740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243522050629975-0.243544697620261)×R²
    abs(-1.70664950--1.70674537)×2.26469902852022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26469902852022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26469902852022e-05×40589641000000     		ar = 22128.0583695637m²