Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14965 / 15725
↖ ↑ ↗
← N 79.506161°
W138.897400°		 ← 55.63 m → N 79.506161°
W138.894653°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.505661°
W138.897400°		 ← 55.63 m →
3 094 m²		 N 79.505661°
W138.894653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114177703857422 y=0.119976043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114177703857422 × 217)
    floor (0.114177703857422 × 131072)
    floor (14965.5)     		tx = 14965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119976043701172 × 217)
    floor (0.119976043701172 × 131072)
    floor (15725.5)     		ty = 15725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14965 / 15725 ti = "17/14965/15725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14965/15725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14965 ÷ 217
    14965 ÷ 131072     		x = 0.114173889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15725 ÷ 217
    15725 ÷ 131072     		y = 0.119972229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114173889160156 × 2 - 1) × π
    -0.771652221679688 × 3.1415926535     		Λ = -2.42421695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119972229003906 × 2 - 1) × π
    0.760055541992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.38778490697462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42421695} λ = -2.42421695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38778490697462))-π/2
    2×atan(10.8893462932452)-π/2
    2×1.4792203019707-π/2
    2.95844060394141-1.57079632675     		φ = 1.38764428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42421695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.897400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38764428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.506161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14965 KachelY 15725 -2.42421695 1.38764428 -138.897400 79.506161
    Oben rechts KachelX + 1 14966 KachelY 15725 -2.42416901 1.38764428 -138.894653 79.506161
    Unten links KachelX 14965 KachelY + 1 15726 -2.42421695 1.38763555 -138.897400 79.505661
    Unten rechts KachelX + 1 14966 KachelY + 1 15726 -2.42416901 1.38763555 -138.894653 79.505661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38764428-1.38763555) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dl = 55.6188300000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38764428-1.38763555) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dr = 55.6188300000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42421695--2.42416901) × cos(1.38764428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182129800284827 × 6371000     		do = 55.6271290280089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42421695--2.42416901) × cos(1.38763555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182138384264242 × 6371000     		du = 55.6297507962741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38764428)-sin(1.38763555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182129800284827-0.182138384264242)×R²
    abs(-2.42416901--2.42421695)×8.58397941572164e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.58397941572164e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.58397941572164e-06×40589641000000     		ar = 3093.98874274025m²