Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14964 / 10396
↖ ↑ ↗
← N 54.800685°
W 15.600586°		 ← 704.18 m → N 54.800685°
W 15.589599°		 →
↑
704.19 m
↓
↑
704.19 m
↓
N 54.794352°
W 15.600586°		 ← 704.29 m →
495 913 m²		 N 54.794352°
W 15.589599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456680297851562 y=0.317276000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456680297851562 × 215)
    floor (0.456680297851562 × 32768)
    floor (14964.5)     		tx = 14964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317276000976562 × 215)
    floor (0.317276000976562 × 32768)
    floor (10396.5)     		ty = 10396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14964 / 10396 ti = "15/14964/10396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14964/10396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14964 ÷ 215
    14964 ÷ 32768     		x = 0.4566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10396 ÷ 215
    10396 ÷ 32768     		y = 0.3172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27228159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3172607421875 × 2 - 1) × π
    0.365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14818461969959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27228159} λ = -0.27228159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14818461969959))-π/2
    2×atan(3.15246478942808)-π/2
    2×1.26362435502929-π/2
    2.52724871005859-1.57079632675     		φ = 0.95645238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27228159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95645238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.800685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14964 KachelY 10396 -0.27228159 0.95645238 -15.600586 54.800685
    Oben rechts KachelX + 1 14965 KachelY 10396 -0.27208984 0.95645238 -15.589599 54.800685
    Unten links KachelX 14964 KachelY + 1 10397 -0.27228159 0.95634185 -15.600586 54.794352
    Unten rechts KachelX + 1 14965 KachelY + 1 10397 -0.27208984 0.95634185 -15.589599 54.794352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95645238-0.95634185) × R
    0.000110529999999942 × 6371000     		dl = 704.186629999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95645238-0.95634185) × R
    0.000110529999999942 × 6371000     		dr = 704.186629999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27228159--0.27208984) × cos(0.95645238) × R
    0.000191749999999991 × 0.576422551323008 × 6371000     		do = 704.180413281291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27228159--0.27208984) × cos(0.95634185) × R
    0.000191749999999991 × 0.576512867588753 × 6371000     		du = 704.290747176438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95645238)-sin(0.95634185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576422551323008-0.576512867588753)×R²
    abs(-0.27208984--0.27228159)×9.03162657449608e-05×R²
    0.000191749999999991×9.03162657449608e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.03162657449608e-05×40589641000000     		ar = 495913.280471706m²